Sei x ∈ ℝ eine reelle Zahl und folgende Ungleichung gegen:
$$ \frac{x+1}{x-3} < 2$$
Für x = 3 ist die Ungleichung nicht definiert.
Wir multiplizieren mit (x - 3), wobei wir eine Fallunterscheidung für (x - 3) > 0 und (x - 3) < 0 machen müssen, da sich bei Multiplikation mit negativen Werten das Ordnungszeichen umkehrt.
Soweit so gut.
1. Fall: (x-3) > 0
Wir multiplizieren obige Gleichung mit (x - 3), wobei wir ja annehmen, dass (x-3) > 0 ist. Also ergibt sich
x + 1 < 2x - 6 <=> 7 < x <=> x > 7.
>>> hier fehlt noch ein Schritt?
Für alle x > 7 aus ℝ ist also unsere Ausgangsgleichung kleiner also 2. D.h. wir haben ein Intervall gefunden und zwar (7, ∞).
2. Fall: (x-3) < 0
Wir multiplizieren obige Gleichung mit (x - 3), wobei wir ja annehmen, dass (x-3) < 0 ist. Also muss sich das Ordnungszeichen umdrechen und wir erhalten
x + 1 > 2x - 6 <=> 7 > x <=> x < 7.
>>> hier fehlt noch ein Schritt?
Für alle x < 7 aus ℝ ist also unsere Ausgangsgleichung auch kleiner also 2. D.h. wir haben ein Intervall gefunden und zwar (-∞, 7).
Das ist aber falsch, denn setzen wir oben z.B. 5 ein, so erhalten wir (6/2 = 3) < 2, was falsch ist.
Irgendwas fehlt mir noch. Was mache ich mit den Ergebnissen (x < 7) und (x > 7) um die Lösungsmenge für die zwei Fälle zu bestimmen?
