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Sei x ∈ ℝ eine reelle Zahl und folgende Ungleichung gegen:

$$ \frac{x+1}{x-3} < 2$$

Für x = 3 ist die Ungleichung nicht definiert.

Wir multiplizieren mit (x - 3), wobei wir eine Fallunterscheidung für (x - 3) > 0 und (x - 3) < 0 machen müssen, da sich bei Multiplikation mit negativen Werten das Ordnungszeichen umkehrt.

Soweit so gut.

1. Fall: (x-3) > 0

Wir multiplizieren obige Gleichung mit (x - 3), wobei wir ja annehmen, dass (x-3) > 0 ist. Also ergibt sich

x + 1 < 2x - 6 <=> 7 < x <=> x > 7.

>>> hier fehlt noch ein Schritt?

Für alle x > 7 aus ℝ ist also unsere Ausgangsgleichung kleiner also 2. D.h. wir haben ein Intervall gefunden und zwar (7, ∞).

2. Fall: (x-3) < 0

Wir multiplizieren obige Gleichung mit (x - 3), wobei wir ja annehmen, dass (x-3) < 0 ist. Also muss sich das Ordnungszeichen umdrechen und wir erhalten

x + 1 > 2x - 6 <=> 7 > x <=>  x < 7.

>>> hier fehlt noch ein Schritt?

Für alle x < 7 aus ℝ ist also unsere Ausgangsgleichung auch kleiner also 2. D.h. wir haben ein Intervall gefunden und zwar (-∞, 7).

Das ist aber falsch, denn setzen wir oben z.B. 5 ein, so erhalten wir (6/2 = 3) < 2, was falsch ist.

Irgendwas fehlt mir noch. Was mache ich mit den Ergebnissen (x < 7) und (x > 7) um die Lösungsmenge für die zwei Fälle zu bestimmen?

von

2 Antworten

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Beste Antwort

du hast deine Voraussetzung nicht berücksichtigt.

x - 3 < 0 bedeutet x < 3.

Mit dem Ergebnis aus der Umformung heißt das Gesamtergebnis dieses Falls:

x < 7 und x < 3

also x< 3.

Gruß

von 23 k

OK, danke. Ich habe mir das mal auf dem Zahlenstrahl verdeutlich, dann wurde es klar.

Ich habs irgendwie nicht gecheckt, was es heißt, wenn beide Bedingungen gleichzeitig wahr sein müssen (UND-Verknüpfung); mit dem Zahlenstrahl wurde es dann klar.

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1. Fall: (x-3) > 0
Ergebnis : ( x > 7 ) und ( x > 3 ) = x > 7

2. Fall: (x-3) < 0
Ergebnis : ( x < 7 ) und ( x < 3 ) = x < 3



von 121 k 🚀

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