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Aufgabe:

Gegeben ist die Kostenfunktion \( K \) eines Betriebes mit \( K(x)=0,125 x^{3}-x^{2}+3,5 x+20 \) mit einer Kapazitätsgrenze von \( 15 \mathrm{ME} \).

a) Zu welchem Preis wird 1 ME verkauft, wenn die Erlösfunktion linear ist und die Gewinnschwelle bei 2 ME liegt? Geben Sie die Erlösfunktion an.

b) Berechnen Sie die Gewinngrenze, wenn die Erlösfunktion \( E(x)=12 x \) ist.

c) Geben Sie die Stückkostenfunktion \( \mathrm{k} \) an und erstellen Sie dazu einen Graphen.

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K(x) = 0.125·x^3 - x^2 + 3.5·x + 20

E(x) = p·x

a)

E(2) = K(2)

p·2 = 0.125·2^3 - 2^2 + 3.5·2 + 20 --> p = 12

E(x) = 12·x

b)

G(x) = E(x) - K(x) = 12·x - (0.125·x^3 - x^2 + 3.5·x + 20) = - 0.125·x^3 + x^2 + 8.5·x - 20

G(x) = 0

- 0.125·x^3 + x^2 + 8.5·x - 20 = 0

Polynomdivision

0.125·(2 - x)·(x^2 - 6·x - 80) = 0

x = 12.43398113

c)

k(x) = K(x)/x = 0.125·x^2 - x + 3.5 + 20/x

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