+1 Daumen
8,2k Aufrufe

Beweisen Sie per Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

$$ 1 + 3 + 5 + \ldots + ( 2 n - 1 ) = n ^ { 2 } $$


Die Beweistechnik der vollständigen Induktion wurde zwar erklärt, aber bin ich mir noch unsicher in der Anwendung.

von

2 Antworten

+2 Daumen

Hi,

A(n): 1+3+5+...+(2n-1)=n²

dann kennst Du ja sicher die wichtigsten Begriffe der Induktion.

Induktionsanfang (~basis); Induktionsschritt und Induktionsschluss.

 

Induktionsanfang: Sei n=1

linke Seite: 1

rechte Seite: 1²=1

Passt also!

 

Induktionsschritt:

Sei n eine natürliche Zahl mit n≥1, und es gelte A(n). Weisen wir A(n+1) nach.

 

1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=+(2n+1)=n²+2n+1=(n+1)²

 

Induktionsschluss:

Somit gilt A(n+1) und die Aussage ist bewiesen.

 

 

Grüße

von 139 k 🚀
+2 Daumen
als erstes muss man zeigen, dass diese gleichung für n=1 erfüllt ist.

einsetzen von n=1 ergibt:
(2*1-1) = 1²
= 1 = 1    diesist korrekt. Damit ist die Gleichung für n= 1 erfüllt.

nun kommt der induktionsschritt, dass heißt, die gleichung muss auch für n+1 gelten.

nun muss man in der gleichung n einfach durch n+1 ersetzen, so bekommt man:

[1+2+3+...+(2n-1)]+ (2(n+1)-1) = (n+1)²      (der teil in der eckigen klammer ist die anfängliche formel, dessen
                                                                               ergebnis n² ist)

also kann man das zu:   n² + (2(n+1)-1) = (n+1)² umschreiben
jetzt vereinfacht man die linke seite soweit wie möglich:

n² + 2*n+ 2*1 - 1 = (n+1)²
= n² + 2n + 1 = (n+1)²
=  (n+1)²=(n+1²)                                      beide seiten sind gleich und ein beliebiges n kann eingesetzt werden.

damit ist diese formel per vollständiger induktion bewiesen.
zumindest hab ich es so gemacht. ich hoffe ich konnte dir damit eine hilfe sein
von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community