Beweisen Sie per Induktion: 1+3+5+...+(2n-1)=n²

Question

Beweisen Sie per Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

$$ 1 + 3 + 5 + \ldots + ( 2 n - 1 ) = n ^ { 2 } $$

Die Beweistechnik der vollständigen Induktion wurde zwar erklärt, aber bin ich mir noch unsicher in der Anwendung.

Answer 1

Hi,

A(n): 1+3+5+...+(2n-1)=n²

dann kennst Du ja sicher die wichtigsten Begriffe der Induktion.

Induktionsanfang (~basis); Induktionsschritt und Induktionsschluss.

 

Induktionsanfang: Sei n=1

linke Seite: 1

rechte Seite: 1²=1

Passt also!

 

Induktionsschritt:

Sei n eine natürliche Zahl mit n≥1, und es gelte A(n). Weisen wir A(n+1) nach.

 

1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=n²+(2n+1)=n²+2n+1=(n+1)²

 

Induktionsschluss:

Somit gilt A(n+1) und die Aussage ist bewiesen.

 

 

Grüße

Answer 2

als erstes muss man zeigen, dass diese gleichung für n=1 erfüllt ist.

einsetzen von n=1 ergibt:
(2*1-1) = 1²
= 1 = 1    diesist korrekt. Damit ist die Gleichung für n= 1 erfüllt.

nun kommt der induktionsschritt, dass heißt, die gleichung muss auch für n+1 gelten.

nun muss man in der gleichung n einfach durch n+1 ersetzen, so bekommt man:

[1+2+3+...+(2n-1)]+ (2(n+1)-1) = (n+1)²      (der teil in der eckigen klammer ist die anfängliche formel, dessen
                                                                               ergebnis n² ist)

also kann man das zu:   n² + (2(n+1)-1) = (n+1)² umschreiben
jetzt vereinfacht man die linke seite soweit wie möglich:

n² + 2*n+ 2*1 - 1 = (n+1)²
= n² + 2n + 1 = (n+1)²
=  (n+1)²=(n+1²)                                      beide seiten sind gleich und ein beliebiges n kann eingesetzt werden.

damit ist diese formel per vollständiger induktion bewiesen.
zumindest hab ich es so gemacht. ich hoffe ich konnte dir damit eine hilfe sein