Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f t=3 für x---> +unendlich und - unendlich

0 Daumen
257 Aufrufe

ft(x)=1/6*x^3+t*x^2+ 3/2*t^2*x mit t > 0

 

4) Ein Dreieck besitzt die Eckpunkte P(0;0), Q(x;0) und R (x; f3(x)) ; wobei -9 < x < 0 gelte. Für welchen wert von x wird der Inhalt dieses Dreicks extremal ?

Gefragt 13 Sep 2012 von Anes
Hallo Anes, bitte die Fragen nicht doppelt einstellen. Danke.
OK TUT MIR ÄUßERST LEID DAS WIRD SELBSTVERSTÄNDLICH NIE WIEDER VORKOMMEN  ... WARUM KANN MAN DIE ABER FALSCH GESTELLTEN FRAGEN NICHT LÖSCHEN ???

Fragen löschen können nur Administratoren. Du hast nach Absenden deiner Frage 5 min, um diese nachträglich zu bearbeiten. Einfach auf "Bearbeiten" unter der Frage klicken.

PS: Bitte den nächsten Kommentar klein schreiben, das liest sich besser :o)

Wurde diese Frage denn jetzt schon beantwortet nd ist das hier die definitive Version?
nein die frage wurde noch nicht beantwortet .. und dies ist die definitive Version .. !!!

1 Antwort

+1 Punkt

Hallo Anes, 

Am besten zeichnest du die Kurve im fraglichen Bereich erst einmal (ungefähr) auf.

f3(x)=1/6*x^3+3*x^2+ 3/2*3^2*x = 1/6 x3+3x2+ 13,5x             ,    -9<x<0

Jetzt wählst du den Punkt Q(x|0)  auf der x-Achse in diesem Bereich.

Dazu den Punkt R(x,f3(x)) denkrecht oberhalb oder unterhalb von Q auf der Kurve und zeichnest von dort noch eine Verbindung zu P(0/0) 

Das Dreieck, das du jetzt vor dir hast, ist ein halbes Rechteck. Es hat (bis auf des Vorzeichen) die

Fläche a(x) =0.5 x * f3(x), wir kümmern uns hier nicht um das Vorzeichen und lassen auch ein Minimum zu.

Diese Fläche soll also einfach extremal sein.

Um Extremalstellen (x-Werte) zu finden, leitet man a(x) ab und setzt die Ableitung a'(x)= 0

a(x) =0.5 x * f3(x) =  1/12 x4+1.5x3+ 6,75x2  

a'(x) = 1/3 x3 + 4.5 x+ 13.5 x   = 0        Null setzen, Faktorisieren

x( 1/3 x2 + 4.5 x + 13.5)   = 0                 | Das erste relative Extremum wäre eventuell bei x=0. Das interessiert nicht, da dieses Dreieck die Fläche 0 hätte. Es bleibt eine quadratische Gleichung zu lösen.

 1/3 x2 + 4.5 x + 13.5   = 0         |*3

 x2 + 13,5 x + 40,5   = 0  

d = b2- 4ac = 20.25          Wurzel draus    4,5

x 1,2= 0.5 (-13,5 ± 4,5)

x1= -9 , x2= -4,5 

-9 liegt ebenfalls ausserhalb des interessierenden Bereichs zudem ist a(-9) = 546,75 - 1093,5 + 546.75 = 0

a(-4,5) =  34,172 - 136,688 + 136,688 = 34,172 

Da ein positiver Wert rauskomme und wir mit negativem x rechnen

Also ist jetzt klar: 

Für x= -4,5 wird die Dreiecksfläche maximal.

Da ein positiver Wert rauskommt und wir mit negativem x rechnen, ist auch f(x) an dieser Stelle negativ, d.h. die Kurve verläuft im betrachteten Bereich im 3.Feld (unter der x-Achse). Zudem haben wir rausgefunden, dass sie bei x=-9 und bei x=0 die x-Achse schneidet.

Beantwortet 13 Sep 2012 von Lu Experte CIII

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Matheretter
...