Nach den pädagogischen Ermahnungen vielleicht doch etwas
Hilfe:
a) schneide doch vielleicht erst mal die für k=0 und k=1
Das gäbe -x^3 -x = -x^3 + x^2
0 = x^2 + x
0 = x ( x+1)
x = 0 oder x= - 1 und damit P1=(0/0) und P2=(- 1/ 2 )
Da diese beiden nur die 2 Punkte gemeinsam haben, können alle
auch höchstens diese 2 gemeinsam haben.
Und wenn alle diese beiden Punkte gemeinsam haben, müssen die
Koordinaten dieser beiden Punkte beim Einsetzen in jede beliebige
Funktionsgleichung aus dieser Funktionenschar stimmen.
Test mit (0/0):
fk(0) = 0
- 0^3 + k*0^2 + (k-1) * 0 = 0 stimmt !
Test mit (-1 / 2 ):
fk(-1) = 2
- (-1)^3 + k*(-1)^2 + (k-1) * (-1) = 2
1 + k - k + 1 = 2 stimmt ! q.e.d.
für b) bilde mal fk'(x) und mache den Ansatz f k ' ( 3) = 0, weil
das eine notwendige Beding. für Extremstellen ist.
c) nun allgemein f k ' ( x) = 0 setzen.
das gibt -3x^2 + 2kx + k-1 = 0
Diese quadr. Gl. nach x aufzulösen
z.B. mit der Lösungsformel gibt
x = ( -2k ± wurzel ( 4k^2 - 4*(-3)*(k-1) ) / (-6 )
und in der Wurzel, das ist 4k^2 + 12k - 12
und wenn dieser Term negativ ist, gibt es keine Lösungen,
also hat fk dann keine Extremstellen.
Also rechnest du vielleicht aus, für welche k das gleich 0 ist
und dann siehst du es schon.
Bei Wendepunkten heißt die Bedingung f k ' ' (x) = 0
Du wirst sehen, das klappt immer.
