Beweise zu Normen von stetigen Funktionen. Maximum und Integral von Betrag der Funktion.

Question

Aufgabe:

Sei \( V=C[0,1] \) der Raum der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbf{R} \) Zeigen Sie:

(a) Durch
\[ \|f\|_{\infty}:=\max \{|f(x)| | x \in[0,1]\} \]
erhält man eine Norm \( ||.||_{∞} \) auf \( V \).

(b) Durch
\[ \|f\|_{1}:=\int_{0}^{1}|f(x)| d x \]
erhält man eine Norm \( \|.\|_{1} \) auf \( V \)

(c) Ist \( f \in V, \) so ist \( \|f\|_{1} \leq\|f\|_{\infty} \)

(d) Ist \( \varepsilon>0 \) so gibt es ein \( f \in V \) mit \( \|f\|_{\infty}=1 \) und \( \|f\|_{1} \leq \varepsilon \)

Comments

Ist ein Einzeiler mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.

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a)+b) Definition von Norm

c) Monotonie des Integrals

d) Einfaches Beispiel suchen

Answer 1

Bei d) kannst du f(x) = x^n nehmen und n so wählen, dass das Integral kleiner als Epsilon wird.

||f(x)||unendlich = f(1) = 1

nötiges n bestimmen:

Integral von 0 bis 1  x^n dx = 1/(n+1) x^{1+n}    |₀¹ = 1/(n+1) ≤ Epsilon

1/Epsilon ≤ n+1

1/Epsilon - 1 ≤ n

Also: n darf einfach nicht kleiner sein als 1/Epsilon – 1

Comments

könnte mir bitter jemand sagen was da bei der a.) steht mit  dem punkt ? 

also das   ||.|| _∞

wie heißt das ?? bzw. was ist damit gemeint ? ich dachte wenn man die a zeigt hätte man ||f||_∞

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||.|| _∞ 

ist in den Teilaufgaben a) eine Zeile weiter oben definiert. 

Es ist sozusagen der grösste Ausschlag der Funktion f in ihrem Definitionsbereich. 

Answer 2

Du musst eigentlich nur ziemlich stupide die Bedingungen für Normen nachprüfen, sprich >=0, Dreiecksungleichung usw. Meistens ist das offensichtlich, bei der Dreiecksungleichung hilft es meistens weiter, wenn man die "normale" Dreiecksungleichung bei Beträgen anwendet, dann hat man das <= in der Ungleichung.

Comments

Also wirklich bei (a) schreiben:

1) Bed:  da /f(x)/ > 0 somit auch max(/f(x)/  / ...) > 0

2) Bed: /f(x)/ = 0 nur wenn f(x) = 0

3) Bed: /a*f(x)/ = /a/ * /f(x)/

4) Bed: /f(x)+w(x)/ <= /f(x)/ + /w(x)/

 

mit /.. / = Betrag..

also das waren die 4 Bedingungen die wir in den Vorlesungen dazu aufgeschrieben haben.

Aber wie mache ich das bei c denn wir hatten das genau andersrum aufgeschrieben mal, dass nämlich //f//unend. < //f//1

es muss dann ja Integral von f(x) < als max (f(x))

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andesrum war bei der Norm ||v||, hier hast du eine Funktion drin. Wenn man das ausrechnet, sieht man dass es stimmts (f beliebig), leider kann ich den Beweis nicht wirklich formulieren.