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es geht um folgende Funktion:


T(x) = (-5x2-50x-250)e-0,2x+5x


Ich muss diese Stammfunktion ableiten, um zu zeigen, dass es tatsächlich die Stammfunktion von


t(x) = x2e-0,2x+5 ist. Ich weiß, dass für T(x) Ketten- und Produktregel benötigt werden.


Zuerst muss man e-0,2x mit der Kettenregel ableiten, da kommt -0,2e-0,2x raus.

Dann müsste die Ableitung der Stammfunktion so aussehen:


T'(x) = (-10x-50)*(e-0,2x)+(-5x²-50x-250)*-(0,2e-0,2x)

Wo bringe ich nun die +5x unter? Außerdem lässt sich das Ergebnis sicherlich vereinfachen, wobei ich auch meine Probleme habe.

von

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Beste Antwort

Hallo MilchShake,


T(x) = (-5x2-50x-250) * e-0,2x + 5x

Richtig, Produkt- und Kettenregel, außerdem Summenregel für 5x

(uv)' = u'v + uv'

u = (-5x2 - 50x - 250)

u' = (-10x - 50)

v = e-0,2x 

v' = -0,2 * e-0,2x 

Dann ergibt sich als Ableitung des ersten Summanden

(-10x - 50) * (e-0,2x) + (-5x2 - 50x - 250) * (-0,2) * e-0,2x | e-0,2x ausklammern

(e-0,2x) * (-10x - 50 + 0,2 * 5x2 + 0,2 * 50x + 0,2 * 250) =

e-0,2x * x2 | die farbig markierten Terme hoben sich auf

(5x)' = 5

Damit ergibt sich insgesamt

T'(x) = e-0,2x * x2 + 5 = t(x)


Nachvollziehbar?


Besten Gruß

von 32 k

Ist mir noch nicht ganz klar:

Woher kommen einige Zahlen der unausgeklammerten ersten Ableitung ?

(e-0,2x) * (-10x - 50 + 0,2 * 5x2 + 0,2 * 50x + 0,2 * 250)

Einige sind ersichtlich, andere wiederum leider noch nicht.

Dann ergibt sich als Ableitung des ersten Summanden

(-10x - 50) * (e-0,2x) + (-5x2 - 50x - 250) * (-0,2) * e-0,2x | e-0,2x ausklammern

Der rote Teil wird natürlich zu

(e-0,2x) * (-10x - 50

Das e-0,2x aus dem blauen Teil findet sich jetzt schon vor der "langen" Klammer.

Multiplizieren wir also


+ (-5x2 - 50x - 250) * (-0,2)

aus:

+ (-5x2) * (-0,2) = + 5x2 * 0,2 = +x2 

+ (-50x) * (-0,2) = + 50x * 0,2 = +10x

+ (- 250) * (-0,2) = + 250 * 0,2 = + 50

Also ergibt sich insgesamt

(e-0,2x) * (-10x - 50 + x+ 10x + 50)


Jetzt klarer?

Perfekt, vielen Dank, hab es verstanden :)

Das freut mich!

Sehr gern geschehen - und danke für den Stern :-D

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5x -----> 5! Das ist die Ableitung von 5x!

von 4,7 k

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