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f: (0,∞) x (0.∞)→ℝ,  (x,y) ↦ f(x,y) := 6x^{1/2}*y^{1/3}-3x-y

Bestimme die kritische Stelle (x,y) von f.

Mir liegt auch eine Lösung zu der Aufgabe vor, die ich aber nicht komplett nachvollziehen kann.

(x,y) kritisch <=> ∇f(x,y)=(0,0)

<=> x^{-1/2}*y^{1/3}=1 ∧ x^{1/2}*y^{-2/3}=1/2

<=> y^{-1/3}=1/2 ∧ x^{1/2} = y^{1/3}

<=> y^{1/3}=2=x^{1/2} <=> (x,y)=(4,8)

Ich kann die letzten zwei Zeilen nicht nachvollziehen. Wie komme ich darauf?

von

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<=> x-1/2*y1/3=1 ∧ x1/2*y-2/3=1/2

x-1/2*y1/3=1    |  :    x-1/2

y1/3=1 :    x-1/2   

y1/3=   x1/2  

Das bei der 2. Gleich. einsetzen :

y1/3 *y-2/3=1/2

y-1/3 =1/2

Also tatsächlich:

<=> y-1/3=1/2           ∧ x1/2 = y1/3

neg. Exponent entspricht Kehrwert:       y-1/3=1/2    <=>      y1/3=2

<=> y1/3=2=x1/2     (s.o. rot )  <=>   2=x1/2    <=>     x=4

y1/3=2     | hoch 3

y = 8

Also wirklich:

  (x,y)=(4,8)

Ich kann die letzten zwei Zeilen nicht nachvollziehen. Wie komme ich darauf?

von 229 k 🚀
Vielen, vielen Dank für die super ausführliche Antwort. Kann das Ganze jetzt nachvollziehen!
+1 Daumen

$$  f(x,y) = 6x^{\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3x-y  $$
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial  x} = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3 $$
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial y} = 6x^{\frac 12} \cdot ( -\frac 32) y^{-\frac 23}-1  $$
partielle Ableitungen Nullsetzen:
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial  x} =0 $$
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial y} = 0 $$

$$  0 = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3 $$
$$ 0= -9x^{\frac 12} \cdot  y^{-\frac 23}-1  $$

$$  3 = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13} $$
$$ 1= -9x^{\frac 12} \cdot  y^{-\frac 23} $$

von

Danke auch für deine Mühe.

keine Ursache - habe mich ohnehin vertan ...

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