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x^5 - 20x = 944

--> muss ich lösen. Komme mit keinem Verfahren voran.

Mein erster Schritt


x^5 - 20x = 944   I - 944

x^5  - 20x - 944 = 0


--> aber jetzt kenne ich kein geeignetes Lösungsverfahren

Freue mich über Hilfe :)

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Durch Probieren kommst du auf x = 4. Den Lösungsansatz überleg ich noch ... :-)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=944

Die Primfaktorzerlegung

944 = 2^4 * 59 hilf dir systematisch zu raten.

Beginne mit ±2 , ±4 ....

Danach Polynomdivision.

4 Antworten

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Die Gleichung

$$ x^5-20x-944=0 $$

lässt sich in der Menge der reellen Zahlen folgendermaßen lösen:

Lösungsweg 1 (analytisch):

Man definiere auf R die Funktion

$$ f(x):=x^5-20x-944=0 $$

Wie man leicht verifiziert, gilt

$$ f(4)=0 $$

Nunmehr gilt aber

$$ f'(x)=x^4-20 $$

Damit gilt für jedes reelle y mit

$$y>4$$

allerdings

$$f'(y)>0$$

sodass f auf diesem Intervall streng monoton steigt, insbesondere gilt für derartiges y also

$$ f(y)>f(4)=0$$

Offensichtlich sind $$\sqrt [ 4 ]{ 20 }$$ und $$-\sqrt [ 4 ]{ 20 }$$

die einzigen reellen Nullstellen von $$f'(x)$$. Zudem gilt

$$f(\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$. Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall

$$[ \sqrt [ 4 ]{ 20 };4[$$

nichtnegativ ist, dort also f  monoton steigt, für jedes reelle a mit $$a\in [ \sqrt [ 4 ]{ 20 };4[$$ folglich $$f(a)<0$$ (unter Berücksichtigung von $$f(4)=0$$).

Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall

$$[-\sqrt [ 4 ]{ 20 }; \sqrt [ 4 ]{ 20 }[$$

nichtpositiv ist, dort also f monoton fällt, für jedes reelle a mit $$a\in[-\sqrt [ 4 ]{ 20 }; \sqrt [ 4 ]{ 20 }[$$ folglich $$f(a)\le f(-\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$ .

Weiterhin verifiziert man leicht, dass $$f'(x)$$ auf dem Intervall

$$]-\infty ;-\sqrt [ 4 ]{ 20 }]$$

nichtnegativ ist, dort also f monoton steigt, für jedes reelle a mit $$a\in]-\infty ;-\sqrt [ 4 ]{ 20 }]$$ folglich $$f(a)\le f(-\sqrt [ 4 ]{ 20 })<0$$ .
Zusammenfassend also gilt
$$f(x)=0$$
genau für $$x=4$$ (in der Menge der reellen Zahlen).
2. Lösungsweg (nur skizziert, auch auf C übertragbar)

Wie in Lösung 1 definiert man die Funktion f. Diese ist ein Polynom 5-ten Grades, hat also in C höchstens 5 Nullstellen (aber mindestens eine, allgemein haben Polynome ungeraden Gerades sogar bereits in R mindestens eine Nullstelle). Man errät eine reelle Nullstelle a von f in C (bzw. in R, je nachdem, welche Lösungen gesucht sind). f lässt sich bekanntermaßen darstellen in der Form
$$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$$,
wenn a,b,c,d,e Nullstellen von f (einige dieser Zahlen können zusammenfallen). Man führe die Polynomdivison
$$f(x)/(x-a)$$ durch, erhält so ein Polynom 4-ten Grades, welches man nun in das Produkt zweier quadratischer Polynome transformieren kann. Die höchstens 4, mindestens 2 (nicht notwendiger reellen Nullstellen) dieser beiden quadratischen Terme sind dann die übrigen Nullstellen von f.
Ich hoffe, dies hilft.
Im Übrigen zu Marvin812s Beitrag: Man kann nicht nur mittels Ausprobieren herausfinden, dass 4 die einzige Nullstelle in R der gesuchten Gleichung ist, denn es gibt undendlich (bzw. sogar überabzählbar unendlich) viele reelle Zahlen, man bräuchte also überabzahlbar unendlich viel Zeit (offensichtlich nicht möglich).
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Du hast die Ableitung von \(f\) falsch berechnet.

Nur als kleiner Tipp:

Der TeX Bereich mit den zwei Dollarzeichen ( .$$ ) ist oft ja etwas unleserlich, da das Ergebnis in die Mitte verschoben wird und danach vor einem Nicht-TeX Bereich ein automatischer Zeilenumbruch zustande kommt.

Lösung: Verwendet \.( \.) * Dann kommt nichts von dem oben genannten zustande, wie man \( hier \) sieht ;).


*Punkte weglassen

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Definiere die Funktion \(f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\) durch \(f(x)=x^5-20x-944\).
Mittels Polynomdivision zeigt man leicht, dass \(f(x)=(x-4)\cdot g(x)\) mit$$g(x)= x^4+4x^3+16x^2+64x+236$$für alle \(x\in\mathbb R\) gilt. Weiter gilt $$g(x)=(x+1)^4+(3x+10)^2+x^2+135\ge135>0$$für alle \(x\in\mathbb R\), daher ist \(x_N=4\) die einzige reelle Nullstelle von \(f\).
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Hi, es ist \(\,944 = 1024 - 80 = 4^5- 20 \cdot 4 = x^5 - 20x,\)
woraus \(x=4\) als eine Lösung folgt.


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Die einzige reelle Lösung deiner Gleichung ist x=4.
Das kann man, wie bereits erwähnt, durch ausprobieren herausfinden.
Avatar von 8,7 k

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