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Beweisen Sie für n ∈ N und x ≠ 1:

$$ \prod _ { k = 0 } ^ { n } \left( 1 + x ^ { 2 ^ { k } } \right) = ( 1 + x ) \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \ldots \left( 1 + x ^ { 2 ^ { n } } \right) = \frac { 1 - x ^ { 2 ^ { n + 1 } } } { 1 - x } $$

Ich komme mit der Aufgabe aus der Übung nicht klar.

Wäre super lieb, wenn ihr mir helfen könntet!

von

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion. Produktformel zeigen: (1+x) (1+x^2) (1+x^4) .... (1+x^2n) = (1-x^{2n-1}) / (1-x)

Stichworte: induktion,produktformel,bruch

Ich muss diese Aufgabe mittels vollständiger Induktion beweisen :

(1+x) (1+x^2) (1+x^4) .... (1+x^2n) = (1-x^{2n-1}) / (1-x)

Bin für jede Hilfe dankbar.

EDIT: Fehlende Klammern um Zähler und Nenner ergänzt. Aber noch ein Fehler im Exponenten! Vgl. Bild der Frage und Originalfrage 2013.

Ist das diese Frage

https://www.mathelounge.de/21962/beweisen-sie-fur-n-n-und-x-1-1-x-1-x-2-1-x-2-n-1-x-2-n-1-1-x

Dann hast du bereits die Frage völlig falsch notiert.

Die Aufgabe steht genau wie ich es oben geschrieben habe auf meinem Übungsblatt ... das einzige was ich vergessen habe zu schreiben ist, dass x nicht gleich 0 ist. Sonst fehlt nichts bei der Aufgabe ...

Magst du mal die Aufgabe von dem Übungsblatt fotografieren?

Oder mache mal den Induktionsanfang für n = 1 vor.

Es handelt sich dabei um die Teilaufgabe b) 1540145118510743132607.jpg

Ich kann den Induktionsanfang schon nicht machen da ich nicht weiß wie ich das mit der linken Seite machen muss... also ich weiß nicht mit was ich rechnen soll ...

Also ist es dann doch exakt die Aufgabe, die ich in dem Link angegeben hatte.

Dann lies dir die Beantwortung dort duch und frag ggf. dort nach, wenn du etwas nicht verstehst.

Und beim nächsten mal gleich die Aufgabe richtig abtippen.

Ich habe die Frage wiedereröffnet. Du kannst ja wieder schliessen.

Was ist denn der Unterschied?

Hallo Lu. Es ist genau die selbe Aufgabe. Ich schließe das wieder.

1 Antwort

+2 Daumen

Das erste Gleichheitszeichen folgt aus der Definition für das Produktzeichen und ist wohl nicht zu beweisen.

Dann Verankerung:

Sei n = 1

(1+x) = (1-x^2)/(1-x) , x≠0

Grund 3. Binomische Formel (1+x)(1-x) = 1 - x^2

Ind. Schritt: n------> n+1

Ind.Vor. (1+x)(1+x^2)…(1+x^ (2^ n)) = (1- x^ (2^ (n+1)))/(1-x)

Ind. Beh. (1+x)(1+x^2)…(1+x^ (2^n)) (1+x^ (2^ (n+1))) = (1- x^ (2^ (n+2)))/(1-x)

Bew.

(1+x)(1+x^2)…(1+x^{2^n}(1+x^ (2^ (n+1))) | Indvor.

= (1- x^{2^{n+1}})/(1-x) * (1+x^{2^ (n+1)})

|auf einen Bruchstrich bringen

= ((1- x^ (2^{n+1})) * (1+x^ (2^ (n+1)))) / (1-x)

|3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)

= (1– x^ (2^ (n+2))) / (1-x)

qed.

von 153 k

Sein N = 1 dann muss stehen :

1+ x2 = 1-x4/ 1-x oder

jb4777: Du meinst wahrscheinlich

1+ x2 = (1-x4 )/ (1-x)

Aber das stimmt nicht.

1+ x2 = (1-x)/ (1-x)     | * (1-x)

(1+ x2) (1-x)  = (1-x) ?

1 - x + x^2 - x^3   ≠ 1- x^4 

ok , aber wie hast du den schritt bekommen :

(1+x) = (1-x2)/(1-x)   ?

da wenn ich n = 1 betrachte.:

Kannst du einbisschen ausführlich erklären.  Danke ;)

3. binom. Formel

(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2

Das weiß ich ja aber ich verstehe noch nicht wie hab ihr  so bekommen dass :

1+x2^n= 1- x2^{n+1}/ 1-x

Wenn man n = 1 betrachtet, stimmt das trotzdem nicht

Das kleinste n ist 0 und nicht 1. Du machst für n = 0 die Verankerung. Das hat Lu wohl versehentlich falsch notiert.

Ja aber wenn man n = 0 betrachtet dann stimmt wohl nicht weil

1+x2n mit n= 0 dann 1+x2n = 2

1- x2n+1/ 1-x = 1-x2 / 1-x

Ich habe gerade dieses Beispiel durchgerechnet, jedoch habe ich ein Problem nach der 3. Binomischen Formel:

 |3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)

ich komme von dieser Form dann nicht auf

= (1– x^ (2^ (n+2))) / (1-x)

sondern auf: (1-x^{2*(2n+2)} / (1-x)

=(1-x^{4n+4}) / (1-x)

=(1-x^2^{2n+2}) / (1-x)

Bitte um eure Hilfe, habe irgendwo einen Denkfehler.

Leider stehe ich vor dem selben Problem ich finde einfach nicht den richtigen Ansatz.
Kann das jemand etwas detailierter erläutern?

= ((1- x^ (2^{n+1})) * (1+x^ (2^ (n+1)))) / (1-x)

|3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)


a) 3. Binomische Formel ( 1 - a)(1 + a) = 1 - a^2 

b) Potenzgesetze (b^n)^2 = b^n * b^n = b^{2n} 

Nun a = x^ (2^{n+1}) einsetzen

((1- x^ (2^{n+1})) * (1+x^ (2^ (n+1))))      | a) 

= 1-  (x^ (2^{n+1}))^2          | b)

= 1-  x^ (2*(2^{n+1}))

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