+2 Daumen
23k Aufrufe

Man kann die Entfernung x zu einem unzugänglichen Turm im Gelände auch mithilfe des Höhenwinkelmessers bestimmen. Man wählt 2 Messpunkte A und B in einer Linie mit dem Fußpunkt des Turms. Anschließend misst man von beiden Punkten aus den Höhenwinkel zur Spitze des Objekts und die Entfernung der Punkte A und B. Berechne die Entfernung x zum Turm.

 

von

Vom Duplikat:

Titel: Der Kosinus, Sinus und der Tangens

Stichworte: sinus,tangens,kosinus

Man kann die Entfernung zu einem Turm und dessen Höhe in unzugänglichen Gelände bestimmen, indem man von zwei Punkten mit bekanntem Abstand ausgehend die Höhenwinkel zur Spitze des Turmes misst. Bestimme mithilfe der Angaben in der Figur die Höhe des Turmes und die Länge der Strecke x.20200424_234750.jpg

Text erkannt:

ences \( x=-\frac{1}{1} \cdot \frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{1+2} \)
\( \frac{1}{1}+\frac{1}{11}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{2}=\frac{1}{40}=\frac{2}{2} \)
\( \frac{-25^{\circ}}{k^{11}}+\frac{2^{3}}{14 m} \)

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Zuerst ergänzt du die fehlenden Winkel:

1. 180° - 40° = 140° (an Punkt B, gestreckter Winkel ist 180°)

2. 180° = 25° + 140° + 15° (Innenwinkelsummensatz)

3. 180° = 40° + 90° + 50° (Innenwinkelsummensatz)

dreieck mit winkeln

Anschließend berechnest du über den Sinussatz die Strecke BC:

sinussatz dreieck

Jetzt weißt du, dass BC 22,86 m lang ist.

Da das kleine Dreieck rechtwinklig ist, können wir jetzt die Strecke BC als Hypotenuse nutzen und mittels Kosinus die Länge x berechnen:

cos(40°) = AK / HY

cos(40°) = x / 22,86 m     |* 22,86 m

cos(40°) * 22,86 m = x

x = cos(40°) * 22,86 m

x ≈ 17,5118 m

Solltest du dich mit Sinus und Kosinus noch nicht auskennen, siehe:


Und hier findest du wesentliche Informationen über den Sinussatz und den Kosinussatz, nutze auch die Programme dort, um weitere Aufgaben zu lösen:

https://www.matheretter.de/wiki/kosinussatz

von 7,4 k
0 Daumen

Hi,

Die Höhe des Turms kann beschrieben werden mit

tan(25)=h/(14+x)

oder durch

tan(40)=h/x

 

Nach h auflösen und gleichsetzen:

(14+x)tan(25)=xtan(40)

14tan(25)+xtan(25)=xtan(40)   |-xtan(40)-14tan(25)

x(tan(25)-tan(40))=-14tan(25)

x=-14tan(25)/(tan(25)-tan(40))≈17,51

 

Die Entfernung vom Turm zu B ist also x≈17,51 m.

(ungefragter Zusatz: Der Turm ist etwa 14,7 m hoch)

 

Grüße

 

Nachtrag: Falsche Rechnung mit sin verbessert durch Ersetzung mit tan.

von 139 k 🚀

Ich fand deinen Ansatz "nur über Sinus" recht gut, warum hast du nicht einfach die Rechnung korrigiert?

Ob nur über Sinus oder Tangens ist ja gleicher Aufwand.

Die Verbesserung zum Tangens war aber weniger Aufwand für mich :D.
0 Daumen

Aloha :)

$$\tan40^o=\frac{h}{x}\quad\Rightarrow\quad h=x\,\tan40^o$$$$\tan25^o=\frac{h}{x+14}\quad\Rightarrow\quad h=(x+14)\,\tan25^o$$Wir setzeh die beiden rechten Seiten gleich:

$$\left.(x+14)\tan25^o=x\,\tan40^o\quad\right|\;\text{links ausrechnen}$$$$\left.x\tan25^o+14\tan25^o=x\,\tan40^o\quad\right|\;-x\tan25^o$$$$\left.14\tan25^o=x\,\tan40^o-x\tan25^o\quad\right|\;x\text{ rechts ausklammern}$$$$\left.14\tan25^o=x(\tan40^o-\tan25^o)\quad\right|\;:(\tan40^o-\tan25^o)$$$$\left.x=\frac{14\tan25^o}{\tan40^o-\tan25^o}\quad\right|\;\text{Taschenrechner}$$$$x=17,5119\,m$$$$h=x\,\tan40^o=14,6943\,m$$

von 108 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community