Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung bijektiv ist: f(n): = 2n+1, falls n≥0 und f(n):= -2n, falls n<0.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung bijektiv ist:
\( \begin{array}{c} {f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}} \\ {\left\{\begin{array}{ll} {n \mapsto 2 n+1,} & {\text { falls } n \geqslant 0 \text { ist }} \\ {n \mapsto-2 n,} & {\text { falls } n<0 \text { ist. }} \end{array}\right.} \end{array} \)

 

Da ich in der Schule keinen einzigen Beweis machen musste, fällt es mir noch schwer solche Aufgaben zu lösen.

Answer 1

Vorbemerkung

2n+1 für n≥0 liefert positive ungerade Zahlen

-2n für n<0 liefert positive gerade Zahlen

Definitionen der Begriffe in den Unterlagen oder hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion

Injektiv: Kein Wert der Bildmenge wird mehrfach angenommen.

Beweis indirekt:

Annahme: Sei a≠b und  f(a) = f(b) 

Dann folgt einer der folgenden Fälle:

1.     2a-1 = 2b-1          
2.         -2a = 2b-1
3.           -2a = - 2b
4.        2a-1 = 2b

Aus 1. und aus 3. folgt zwingend a=b
aus 2. und aus 4. sind nicht lösbar, da eine gerade Zahl niemals eine ungerade sein kann.
Widerspruch zur Annahme, dass irgendein Wert mehrfach angenommen wird. qed injektiv.

Surjektiv: Es kommen alle Elemente von N = {1,2,3,4…} als Bildpunkte vor.

Beweis: Sei e Element N. Zu zeigen: Es gibt ein a Element Z mit f(a) = e.

Beweis: e Element N ist entweder gerade oder ungerade.
Fall e gerade. e = -2n.
Daher ist n=-0.5e eine negative ganze Zahl und das Urbild von e.
Fall e ungerade. e = 2n+1.
Deshalb ist n=(e-1)/2 eine positive ganze Zahl und das Urbild von e.
qed surjektiv.

Da f surjektiv und injektiv gezeigt, gilt auch f ist bijektiv qed.

 

Comments

Wie kommst du auf diese Zusammenstellung:

1.     2a-1 = 2b-1          
2.         -2a = 2b-1
3.           -2a = - 2b
4.        2a-1 = 2b

?

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2 Fälle für a: kleiner 0 oder nicht.

2 Fälle für b: kleiner 0 oder nicht.

Alle möglichen Kombinationen: 4 Fälle