Funktionsscharen ... ! BITTE brauche dringend HILFE

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Eine Funktionsschar gegeben durch fa(x)=ax^3+x^2-(x / a).

 

a) Zeige, dass jeder Graph genau drei Schnittpunkte mit der x-Achse hat.

b) Zeige, dass jeder Graph genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat. Bestimme diese Punkte.

Gefragt 15 Sep 2012 von Anes

1 Antwort

+1 Punkt

Hallo Anes,

Zu a):

Voraussetzung a≠ 0

Eine Nullstelle ist immer an der Stelle x= 0, da wir kein konstantes Glied haben.

Teilen wir die Gleichung durch x, erhalten wir eine quadratische Gleichung.

Du kannst die Nullstellen mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen angeben:

x12 = -b/2a ± 1/(2*a) * √(b2  -4ac) = -1/(2*a) ± 1/(2*a) * √(1  +4a/a) =(-1 ± √5 ) / (2*a)

Da √5 grösser ist als 1 ist, gibt es neben x= 0 immer noch eine positive und eine negative Nullstelle.

Zu b) Hoch und Tiefpunkte ermitteltst Du mit der 1. Ableitung

f'(x) = 0 = 3ax2 + 2x - 1/a

x12 = -b/2a ± 1/(2*a) * √(b2  -4ac) = -2/(6*a) ± 1/(6*a) * √(1  +12a/a) =(-2 ± √13 ) / (6*a)

es gibt also auch immer 2 Extremstellen. Jetzt muss man nur noch zeigen, dass es einmal ein Minima und einmal ein Maxima ist, was aus der 2. Ableitung hervorgeht:

f''(x) = 6ax + 2 = (-2 ± √13 ) + 2 = ± √13

Also einmal negativ und einmal positiv, was bedeutet, dass es einmal eim Maximum und einmal ein Minimum ist.

Beantwortet 15 Sep 2012 von Capricorn Experte II

es hat noch einen Fehler bei den Extremstellen:

x12 = -b/2a ± 1/(2*a) * √(b2  -4ac) = -2/(6*a) ± 1/(6*a) * √(4  +12a/a) =(-2 ± 4 ) / (6*a)

x1 = -1/a

x2 = 1/(3a)

f''(x1) = 6ax + 2 = -6 +2 = -4

f''(x2) = 6ax + 2 =2 +2 = 4

Ich hoffe, es stimmt jetzt alles.

 

Ich würde dir gerne für diese Antwort soviele Punkte geben damit du auf Rang 1 kommst .. DANKE vielmals Capricorn

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