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Aufgabe:

Grenzwert bestimmen von einer Folge mit Wurzel:

\( a_{n}=\frac{n^{2}+\sqrt[n]{n}}{3 n^{2}-1}, \quad n \in \mathbb{N} \)


Ansatz/Problem:

Mir bereitet der Teil "n-te Wurzel aus n" ein wenig Probleme. Wie kann ich das umschreiben?

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"Mir bereitet der Teil "n-te Wurzel aus n" ein wenig Probleme."

Was glaubst du denn wo gegen die n-te wurzel aus n strebt für n gegen unendlich? wenn du es nicht siehst probier es mit ein paar beispiel werten aus und gucke wo gegen das geht.. Dann ist der rest recht einfach

von

Ich kann doch auch schreiben: n hoch (1/n)

Dann würde der Exponent gegen 0 gehen. Also n^0 und damit 1?

Und der Grenzwert wäre dann 1/3? Ist das richtig?

Das ist richtig.

n^{1/n}

Dann würde dort im Grenzfall stehen

∞^0

Das muss nicht zwangsweise 1 sein! Ist es hier aber.

fällt mir auch gerade auf. hab nicht richtig aufgepasst; dass sollte man auf jeden fall erwähnen.
Das ergebnis passt trotzdem..

Das muss nicht zwangsweise 1 sein! Ist es hier aber.

Irgendwas hoch 0 ist doch immer 1, oder nicht?

Ist dann (n^n)^{1/n} auch 1 ? Weil ja alles hoch 0 gleich 1 ist ?

Was hat denn (1 + 1/n)^n für einen Grenzwert ?

Achtung. Es ist nicht 1 wie manche vielleicht annehmen könnten.

den Grenzwert von n^{1/n} wird wie der von (1 + 1/n)^n berechnet.

Was kommt denn raus?

lim n-->∞ (1 + 1/n)^n = e

Ich hätte einfach  1 hoch n gesagt. Warum e?

(1 + 1/n)^n = EXP(LN((1 + 1/n)^n)) = EXP(n * LN(1 + 1/n))

Man kümmert sich zunächst um den Grenzwert des Exponenten

lim n-->∞ n * LN(1 + 1/n)

= lim n-->∞ LN(1 + 1/n) / (1/n)

L'Hospital

= lim n-->∞ - 1/(n·(n + 1)) / (- 1/n^2)

= lim n-->∞ n/(n + 1)

= lim n-->∞ 1 - 1/(n + 1) = 1

Der Exponent hat den Grenzwert 1 und damit

= lim n-->∞ EXP(n * LN(1 + 1/n)) = EXP(1) = e

Ich hatte bisher in der Schule keine ln- und e-Funktionen sowie L-Hospital.

Ich glaube da fehlen mir die Basics, um die Aufgabe lösen zu können.

Oder geht es auch einfacher?

Naja. Sehr einfacher weg einfach mal mit dem Taschenrechner ein paar Werte probieren. Das darf man ruhig machen solange einem der mathematische Hintergrund noch etwas fehlt.

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n --> ∞ n^{1/n} = 1

Dann sollte das klar sein.

von 396 k 🚀

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Gefragt 19 Nov 2015 von Gast
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