Wie berechnet man hier die Nullstellen: x^3-x^2-4x-4 = 0

Question

mit den mir bekannten Verfahren funktioniert es nicht

x^3-x^2-4x-4 = 0

Answer 1

$$x^3-x^2-4x-4=0$$(1) Substituiere \(z=x-\frac13\Leftrightarrow x=z+\frac13\) und erhalte$$z^3-\frac{13}3z-\frac{146}{27}=0.$$(2) Substituiere \(z=u+\frac{13}{9u}\) und erhalte$$u^3+\frac{2197}{729u^3}-\frac{146}{27}=0.$$(3) Substituiere \(v=u^3\) und erhalte$$v^2-\frac{146}{27}v+\frac{2197}{729}=0.$$(4) Löse die quadratische Gleichung für \(v\) mithilfe der \(pq\)-Formel und erhalte$$v_{1;2}=\frac1{27}\left(73\pm6\sqrt{87}\right).$$(5) Berechne \(u\) aus \(v\) durch Rücksubstitution.
(6) Berechne \(z\) aus \(u\) durch Rücksubstitution.
(7) Berechne \(x\) aus \(z\) durch Rücksubstitution.
(8) Ergebnis sollte sein$$x_N=\frac13\left(1+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}\right).$$

Answer 2

f(x) = x^3 - x^2 - 4·x - 4

Man findet eine Nullstelle bei x = 2.875129794 mit einem Näherungsverfahren deiner Wahl.

Untersuchung auf Extrempunkte zeigt, dass es keine Weiteren Nullstellen geben kann.

Answer 3

Du schreibst leider nicht, für welche Klassenstufe? 

Kein Lehrer bis Klasse 10 will derart "krumme Lösungen" haben. (Schreibfehler?)  

Oder habt Ihr gerade Newtons Näherungsverfahren (siehe Wikipedia)...? Dann reicht eine Lösung mit wenigen Nachkommastellen...  

Mathematiker kennen jedoch schon lange die exakten PQRST-Formeln (analog zur pq-Formel für Quadratische Gl. jedoch mit komplexen Zahlen ) immer 3 Lösungen, was jedoch kein Lehrer hören will...

x1= (1+(73-6 sqrt(87))^{1/3}+(73+6 sqrt(87))^{1/3})/3 

= 2.875129794162778825973970594309678067521049734665231874998...   

und noch 2 komplexe Lösungen 

 siehe http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

Auch die Cardanische Formel kommt zum gleichen Ergebnis.

Comments

Und wer will, kann auch noch einen Lösungsweg mit Substitution gehen:  

Subst. x=u+1/3 ergibt  

-4-4(u+1/3)-(u+1/3)²+(u+1/3)³=0  

27u³-117u-146=0 ... Rest siehe Wikipedia "Kubische Gleichung"