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Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

(i) Für jede natürliche Zahl \( n \neq 3 \) gilt: \( n^{2} \leq 2^{n} \)

(ii) Für jede natürliche Zahl \( n \geq 4 \) gilt: \( 2^{n}<n \)

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Induktionsanfang: n = 4

2^4 < 4!

16 < 24 → stimmt!

Induktionsschritt: n → n + 1

2^{n + 1} < (n + 1)!

2 * 2^n < n! * (n + 1)

2^n < n! aus Induktionsannahme und

2 < (n + 1) aus Induktionsannahme.


n^2 ≤ 2^n für n ≠ 3

Induktionsanfang: n = 1, 2 und 4

n = 1

1^2 ≤ 2^1

1 ≤ 2

n = 2

2^2 ≤ 2^2

4 ≤ 4

n = 4

4^2 ≤ 2^4

16 ≤ 16


Induktionsschritt: n → n + 1

(n + 1)^2 ≤ 2^{n + 1}

n^2 + 2·n + 1 ≤ 2·2^n

n^2 + 2·n + 1 ≤ 2·n^2

2·n + 1 ≤ n^2

n^2 - 2·n - 1 ≥ 0

n ≥ √2 + 1 = 2.414


Das ist aber bei n ≥ 4 sicher gegeben.

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Hi Mathecouch, danke dir für deine Antwort.

Leider habe ich nicht ganz verstanden, wie du den Induktionsschritt gemacht hast. Die erste Zeile des Induktionsschritt beider Aufgaben habe ich verstanden ( also ist halt zu zeigen ist :...), aber wie hast du (n+1)

nun dazu gerechnet :S.

(n + 1)2 ≤ 2n + 1

n2 + 2·n + 1 ≤ 2·2n

Links wenden wir die binomische Formel an und Rechts die Potenzgesetze.

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