Vermehrungs- und Sterberate von Zellen in Abhängigkeit des pH-Werts

Question

Bemerkung: Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn ihr mir erläutern könntet, wie ihr an diese Aufgabe herangeht. Es ist sehr wichtig für mich, zu wissen, wie der Lösungsweg ausschaut.

Das Wachstum von Zellen wird stark vom pH-Wert des umgebenden Mediums beeinflusst. Dies gilt auch für Tumorzellen. Bei einer bestimmten Tumorart ist bekannt, dass sich die Zellen bei einem pH von 7,35 jeden Tag verdoppeln und keine Zellen absterben. Fällt der pH allerdings, so sinkt die Vermehrungsrate linear um 10% pro Absenkung des pH-Wertes um 0,01. Bei einem pH-Wert von 7,25 hören die Tumorzellen auf, sich zu vermehren. Gleichzeitig steigt die Sterberate linear um 5% an pro Absenkung des pH-Wertes um 0,01. Bei einem pH-Wert von 7,15 sterben alle Zellen ab. Ab ca. welchem pH-Wert übersteigt die Sterberate erstmals die Vermehrungsrate? 

a. pH= 7,20

b. pH= 7,23

c. pH= 7,25

d. pH= 7,28

e. pH= 7,31

Answer 1

Die Vermehrungsrate bzw. Sterberate sind lineare Funktionen
von denen 2 Punkte bekannt sind

Vermehrungsrate

Bestand = Anfangsbestand * Vermehrungsrate

( ph Wert  | Vermehrungsrate )

( 7.35  | 2 )
( 7.25  | 1 )

m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) = ( 2 - 1 ) / ( 7.35 - 7.25 )
m = 10
y = m * x + b
2 = 10 * 7.35 + b
b = -71.5
y = 10 * x - 71.5
Probe
1 = 10 * 7.25 - 71.5  | stimmt
Formel für die Vermehrungsrate ( pH = x )
v =  10 * pH - 71.5


Sterberate

Bestand = Anfangsbestand - ( Anfangsbestand * Sterberate )

( ph Wert  | Sterberate )

( 7.35  | 0 )
( 7.15  | 1 )

Bei 7.35 ist die Sterberate 0 und der Bestand ist
Bestand = Anfangsbestand - ( Anfangsbestand * 0 ) = Anfangsbestand
Bei 7.15 ist die Sterberate 1 und der Bestand ist
Bestand = Anfangsbestand - ( Anfangsbestand * 1 ) = 0

m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) = ( 0 - 1 ) / ( 7.35 - 7.15 )
m = -5
y = m * x + b
0 = -5 * 7.35 + b
b = 36.75
y = -5 * x + 36.75
Probe
1 = -5 * 7.15 + 36.75  | stimmt
Formel für die Sterbesrate ( pH = x )
s =  -5 * pH + 36.75

Die Vermehrungsrate liegt zwischen 1 und 2,
die Sterberate zwischen 0 und 1.

Beide haben keinen möglichen Schnittpunkt.

Falls man die Frage umformuliert, was sicherlich gemeint ist
" Bei welchem pH wert bleibt der Bestand gleich ? "

A = Anfangsbestand
( A  * Vermehrungsrate ) + ( A - A * Sterberate ) ) = 2 * A
( A  * v ) + ( A * ( 1 - s ) ) = 2 * A  | : A
v + ( 1 - s ) = 2
10 * pH - 71.5 + ( 1 - ( -5 * pH + 36.75 )) = 2
10 * pH - 71.5 + ( 1 +  5 * pH - 36.75  ) = 2
10 * pH - 71.5 + 1 +  5 * pH - 36.75   = 2
15 pH = 109.25
pH = 7.28333

Bei einem pH Wert von ca 7.2833 bleibt der Bestand gleich.

Da der Bestand bei einem pH-Wert von 7.35 sich nur vermehrt
und nichts abstirbt ist bei einem pH-Wert < 7.2833  die Sterberate
höher.

Meine Lösung kommt mir reichlich kompliziert vor.
Geht es einfacher ?

Comments

holy shit. ich danke dir vielmals.

Leider habe ich für die Aufgabe im Normalfall nur 2,5 min. Zeit.

Es muss also einfacher gehen.. mit einfacher Mathematik..

---

Man kann auch eine Antwortmöglichkeit z.B. pH. 7.25 in
die Bedingungen des Fragetextes einsetzen und berechnen.
Dasselbe muß man dann mit 7.28 nochmals durchführen.
Ganz so einfach ist es allerdings auch nicht.