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Es ist ein Körper K, ein K-Vektorraum V und v,w,x,y ∈ V gegeben.

Wie zeige ich dass folgendes gilt: Wenn (v,w,x) linear unabhängig in V ist, dann ist (v+w, w+x, x+v) linear unabhängig in V.

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Überprüfe dies einfach mit der Definition von linearer Unabhängigkeit und deiner Voraussetzung.

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v,w,x lin. unabh. heißt

wenn a,b,c aus K die Gleichung a*v+b*w+c*x = 0 erfüllen, dann sind a=b=c=0

wenn nun a,b,c die Gleichung a(v+w) + b(v+x) + c(w+x) = 0 erfüllen,

dann ist nach dem Distrib.ges  a*v + a*w + b*v + b*x + c*w + c*x = 0

also nach Umformung (a+b)*v + ( a+c)*w + ( b+c) * x = 0 

da v,w,x lin.unab. sind, sind alle Klammern gleich 0 und

damit a+b=0   und a+c= 0  und b+c = 0

also  a= -b gibt in die 2. eingesetzt   -b +c = 0 also c=b

zusammen mit der 3. Gleichung   b+b= 0 also (1+1)*b= 0

und wenn in dem Körper 1+1 ungleich 0 ist, also b=0 

das in die anderen Gleichungen eingesetzt gibt a=b=c=0 q.e.d.

Der Satz gilt also nur für Körper, in denen 1+1 ungleich 0 ist.


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