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n
∑ ci = (cn+1 -1) / (c-1)                  n∈ℕ , c≠1, c∈ℝ

i=0

Die Gleichungen will ich durch vollständige Induktion beweisen.

Ich will die Aufgabe selber lösen, aber leider scheiter ich schon bei dem IA

IA: n=1

c1 = (c1+1 -1) / (c-1)

≈ c = c+1


Wo liegt mein Fehler? Bitte keine ganzen Lösungen, da ich es selber lösen will!


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IA beginnt bei n = 0.

n∈ℕ ohne ℕ0, daher fängt es mit 1 an!

Dann musst du mit  c0 + c1  beginnen.

2 Antworten

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Du kannst auch mit n = 0 beginnen

∑ (i = 0 bis n) (ci) = (cn + 1 - 1)/(c - 1)

Induktionsanfang: n = 0

∑ (i = 0 bis 1) (ci) = (c0 + 1 - 1)/(c - 1)

c0 = (c - 1)/(c - 1)

1 = 1

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (i = 0 bis n + 1) (ci) = (c(n + 1) + 1 - 1)/(c - 1)

∑ (i = 0 bis n) (ci) + cn + 1 = (cn + 2 - 1)/(c - 1)

(cn + 1 - 1)/(c - 1) + cn + 1 = (cn + 2 - 1)/(c - 1)

cn + 1 - 1 + cn + 1·(c - 1) = cn + 2 - 1

cn + 1 - 1 + cn + 2 - cn + 1 = cn + 2 - 1

cn + 2 - 1 = cn + 2 - 1

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Das, was du zeigen sollst, ist die Formel für Partialsummen einer geometrischen Reihe.

Unter diesen Stichworten solltest du eigentlich den Beweis im Internet mehrfach finden.

Bsp. bei Mathelounge.de via: https://www.mathelounge.de/141037/beweis-fur-geometrische-reihen-∑q-…

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