Vollständige Induktion mit einer Konstanten. Brauche Ansatz: ∑ ci = (cn+1 -1) / (c-1) , n∈ℕ , c≠1, c∈ℝ

Question

n
∑ cⁱ = (cⁿ⁺¹ -1) / (c-1)                  n∈ℕ , c≠1, c∈ℝ

i=0

Die Gleichungen will ich durch vollständige Induktion beweisen.

Ich will die Aufgabe selber lösen, aber leider scheiter ich schon bei dem IA

IA^: n=1

c¹ = (c¹⁺¹ -1) / (c-1)

≈ c = c+1

Wo liegt mein Fehler? Bitte keine ganzen Lösungen, da ich es selber lösen will!

Comments

IA beginnt bei n = 0.

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n∈ℕ ohne ℕ₀, daher fängt es mit 1 an!

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Dann musst du mit  c⁰ + c¹  beginnen.

Answer 1

Du kannst auch mit n = 0 beginnen

∑ (i = 0 bis n) (cⁱ) = (c^{n + 1} - 1)/(c - 1)

Induktionsanfang: n = 0

∑ (i = 0 bis 1) (cⁱ) = (c^{0 + 1} - 1)/(c - 1)

c⁰ = (c - 1)/(c - 1)

1 = 1

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (i = 0 bis n + 1) (cⁱ) = (c^{(n + 1) + 1} - 1)/(c - 1)

∑ (i = 0 bis n) (cⁱ) + c^{n + 1} = (c^{n + 2} - 1)/(c - 1)

(c^{n + 1} - 1)/(c - 1) + c^{n + 1} = (c^{n + 2} - 1)/(c - 1)

c^{n + 1} - 1 + c^{n + 1}·(c - 1) = c^{n + 2} - 1

c^{n + 1} - 1 + c^{n + 2} - c^{n + 1} = c^{n + 2} - 1

c^{n + 2} - 1 = c^{n + 2} - 1

Answer 2

Das, was du zeigen sollst, ist die Formel für Partialsummen einer geometrischen Reihe.

Unter diesen Stichworten solltest du eigentlich den Beweis im Internet mehrfach finden.

Bsp. bei Mathelounge.de via: https://www.mathelounge.de/141037/beweis-fur-geometrische-reihen-∑q-…