Funktionsschar->ohne Integration zeigen,dass Nullstellen haben kann

Question

Hallo

meine Aufgabe:

Gegeben sei die Funktionsschar f_a : x -> 2x / x² + a  

1. Zeigen Sie ohne Integration, dass die Integralfunktion h: x-> \int ₀ ^x { arc\quad sin(f₁(t)) }  dt; x∈ [0;1] nur eine Nullstelle haben kann.

2. Zeigen Sie für x ≥ 1, dass die Integralfunktion mit dem Funktionsterm \int ₁ ^x { arc\quad sin(f1(t)) } dt  existiert und geben Sie mit Hilfe partieller Integration der Funktionsterm ohne Integralzeichen an.

Comments

2x/x² -----> 2/x !

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hj240 meint wahrscheinlich:

 f_a : x -> 2x / ( x² + a  )

und dann 

$$ h: x-> \int _{ 0 }^{ x }{ arc\quad sin(f1(t)) }  dt; x∈ [0;1] $$

sowie

$$  \int _{ 1 }^{ x }{ arc\quad sin(f1(t)) } dt $$

Erste Angaben zu dieser Funktionenschar: https://www.mathelounge.de/227560/maximale-definitionsbereich-nullst…

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Answer 1

Für \(x\in [0,1]\) ist \(\frac{2x}{x^2+1} \geqslant 0\) und \(=0\) genau dann, wenn \(x=0\). Der arcsin ist für nichtnegative Zahlen auch nichtnegativ, d.h. es wird stets über eine nichtnegative Funktion integriert und für \(x>0\) ist auch der Integrand \(>0\), also ist das Integral immer \(>0\) außer für \(x=0\).