Mittelwert der Wirkstoffkonzentration kleiner als das arithmetische Mittel? Analysis

Question

ich verstehe die folgende Teilaufgabe einer typischen Kurvendiskussion nicht :

Zeige, dass der Graph von f für t>ln(9/4) linksgekrümmt ist, und begründe, dass für jedes Intervall (t1;t2) mit

ln(9/4)<t1<t2 der Mittelwert der Wirkstoffkonzentration kleiner ist als das arithmetische Mittel der Funktionswerte

f(t1) und f(t2).

Das war die Aufgabe... Die Stelle ln(9/4) ist der Wendepunkt. Der Funktionsgraph zeigt eine typische Medikamentenkonzentration und nähert sich somit nach dem Hochpunkt der x-Achse an.

Da es sich um eine Abituraufgabe handelt, frage ich mich, wie der Operator "begründe" zu deuten ist.

Ist eine Rechnung gefragt ? Ich kann diesen Aufgabentyp nicht und weiß auch nicht, welche Herangehensweise mir weiterhilft..obwohl ich das Problem verstehe.

Comments

Die Angabe der Funktion f dürfte noch fehlen.

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Was heißt "dürfte" ?

Sie ist nicht erforderlich.

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Natürlich:

f(t) = 15*(e^2-t-e^-3*t) bzw. 15e^-3*t*(e^t-1)

Ich kann generell Aufgaben von genau diesem typ mit irgendwelchen Größenvergleichen nicht ...

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f(t) =
15 * (e^2-t - e^-3*t ) bzw.
15 * e^-3*t* ( e^t - 1 )
Die zweite Schreibweise ist aber nicht identisch mit der ersten
15 * ( e^-3*t*  * e^t - e^-3*t )
15 * ( e^-2*t  - e^-3*t )

Was ist richtig ?

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muss natürlich -2t heißen, hab mich in der ersten Formel vertippt ....

Answer 1

Hi,

aus der Aufgabenstellung nehme ich mal heraus, dass wir uns hier nur im positiven Bereich befinden.

Anschauliche Erklärung:

nehme mal beliebige $t_1$ und $t_2$ mit deiner obigen Voraussetzung. Da der Graph in diesem Bereich linksgekrümmt ist befindet er sich unterhalb der Geraden die durch die Punkte $A(t_1 |f(t_1))$ und $B(t_1 | f(t_2) )$ geht (wir bezeichnen die Gerade mal als $g(t)$. Somit gilt insbesondere, dass der Mittelwert von $f(t)$ auf dem Intervall $[t_1,t_2]$ kleiner ist als der Mittelwert von $g(t)$, da das jeweilige Integral (und somit die Fläche unter den besagten Graphen) kleiner ist. Das bedeutet:

$$\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt <\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}g(t)dt$$

Bei einer Geraden ist aber ja der Mittelwert über einem Intervall genau der Mittelwert der beiden Randfunktionswerte, also das arithmetische Mittel:

$$\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}g(t)dt = \frac{g(t_2)+g(t_1)}{2}=\frac{f(t_2)+f(t_1)}{2}$$

Zur kurzen Erklärung:

Du kannst aber natürlich, da du $f(t)$ ja gegeben hast auch versuchen rechnerisch zu überprüfen, ob

$$\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt < \frac{f(t_2)+f(t_1)}{2}$$

gilt.

Gruß

Comments

Sehr gut :D danke

Sowas ähnliches hatte ich schon ungeordnet im Kopf...

Die untere Ungleichung hab ich hier auch schon mal aufgeschrieben, weiß aber nicht, wie ich diese wegen dem < Zeichen bearbeiten müsste. Und welches Ergebnis ich erwarten würde, das die Hypothese bestätigt??

Danke für die schnelle Antwort :)

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Hey beachte bitte meinen Edit. es müssten natürlich + und nicht - sein bei den arith. Mittelwerten ;).

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Jo, das ist klar .. willste mir vielleicht noch den Ansatz von der Ungleichung erklären.. hehe ??
Bist selber Schuld, weil die erste Antwort so präzise war :)

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Was meinst du mit Ansatz der Ungleichung? Das ist einfach die mathematische Formulierung dafür das etwas kleiner ist als etwas anderes :D und genau danach wurde ja gefragt.

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Du kannst aber natürlich, da du f(t) ja gegeben hast auch einfach rechnerisch überprüfen, ob

1t2−t1∫t2t1f(t)dt<f(t2)+f(t1)2

gilt.

Wie würde ich das überprüfen ? Sorry, wenn ich mich dumm anstelle..

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Achso, naja du hattest bevor ich die Antwort verfasst habe ja noch keine Angabe über die Funktion gemacht. Das nachzurechnen scheint mir hier im nachhinein nicht als guter Weg bei dieser Funktion zu sein ;). Hab es nur als allgemeinen Ansatz dazugeschrieben.

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Ok, das hätte ich auch gedacht und da in der Aufgabe nur "begründe" steht...

Sehr gut nochmal vielen Dank :)

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Kein Problem gerne :). Viel Erfolg.

Answer 2

f ( t ) = 15 * ( e^-2t-e^-3t)

Ich kämpfe derzeit noch mit dem Funktionsplotter.

Mit dem eingebauten Funktionsplotter funktioniert es nicht.

Hier ein

anderer Plotter.

Zeige, dass der Graph von f für t>ln(9/4) linksgekrümmt ist,

f ( t ) = 15 * ( e^-2t-e^-3t)
f ´( t ) = 15 * ( e^-2t * ( -2 ) - e^-3t * (-3 )
f ´( t ) = -30 * e^-2t  + 45 *  e^-3t
f ´´( t ) = -30 * e^-2t * (-2 ) + 45 *  e^-3t * (-3)
f ´´( t ) = 60 * e^-2t  - 135 *  e^-3t
Wendepunkt
60 * e^-2t  - 135 *  e^-3t  = 0  | * e^3t
60 * e^t  - 135 *  e^-3t+3t  = 0
60 * e^t  - 135   = 0 
60 * e^t  = 135  
e ^t = 135 / 60 | ln ( )
t = ln ( 135 / 60 ) = ln ( 9 / 4 )

Nach dem Wendepunkt geht es linksgekrümmt weiter.

Comments

für den 2.Teil der Frage " begründe ... "
dürfte folgender Sachverhalt zutreffen.

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wenn ich f ( t1 ) mit f ( t2 ) verbinde erhalte ich als Fläche
ein Trapez.
Diese Fläche hat einen größeren Flächeninhalt als die Fläche
der Kurve darunter.
Damit ist die Begründung schon gegeben.

Kann ich auch noch ausführlicher darstellen.

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Hier

die Skizze

Die Höhe des Rechtecks a ( arithmetisches Mittel ) ist größer als
die Höhe des Rechtecks b ( mittlere Konzentration )

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Die Seite hier ist echt super :D

Auch dir vielen Dank für die anschauliche Erklärung.

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Die Lösung ist mir auch erst beim Bearbeiten entstanden
und bestätigt das eine Skizze manchmal einen Sachverhalt
erheblich vereinfachen oder klären kann.