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Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$$ A : = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 2 \sqrt { 6 } } & { \sqrt { 2 } } \\ { - 2 \sqrt { 6 } } & { 0 } & { 2 \sqrt { 3 } } \\ { \sqrt { 2 } } & { 2 \sqrt { 3 } } & { 2 } \end{array} \right) $$

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Ich ziehe in der Hauptdiagonalen 1 ab.

[1 - k, - 2·√6, √2;
- 2·√6, 0 - k, 2·√3;
√2, 2·√3, 2 - k]

Nun bilde ich die Determinante und setze diese gleich Null.

- k^3 + 3·k^2 + 36·k - 108 = 0

k = -6 ∨ k = 6 ∨ k = 3

Das sind die Eigenwerte der Matrix. Um die Eigenvektoren zu bestimmen nehme ich das Produkt der Matrix, für die ich ein k eingesetzt habe mit einem Vektor und setze das gleich 0.

[1 - -6, - 2·√6, √2; - 2·√6, 0 - -6, 2·√3; √2, 2·√3, 2 - -6]·[1; b; c] = [0; 0; 0]
b = √6/2 ∧ c = - √2/2
Eigenvektor ist hier also r*[2; √6; -√2]

[1 - 6, - 2·√6, √2; - 2·√6, 0 - 6, 2·√3; √2, 2·√3, 2 - 6]·[1; b; c] = [0; 0; 0]
b = - √6/2 ∧ c = - √2/2
Eigenvektor ist hier also r*[2; -√6; -√2]

[1 - 3, - 2·√6, √2; - 2·√6, 0 - 3, 2·√3; √2, 2·√3, 2 - 3]·[1; b; c] = [0; 0; 0]
b = 0 ∧ c = √2
Eigenvektor ist hier also r*[1; 0; √2]
von 426 k 🚀

Wieso multiplizierst du das mit [1,b,c]?

Weil ich weiß, dass die Eigenvektoren zueinander alle linear abhängig sind. D.h. mein Ergebnis würde einen Freiheitsgrad haben. Daher kann ich für einen Wert einfach 1 annehmen. Ich hätte auch [a, b, 1] nehmen können.
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Ich möchte euch ein neues Verfahren vorstellen, wie man die Wurzeln dieses Polynoms systematisch bestimmen kann.


f ( x ) := x ³ - 3 x ² - 36 x + 108 = 0   ( 1 )


Für ein kubistisches Polynom stellt sich ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab; schaut mal, was Pappi alles weiß.


https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen


Genau wie bei den DGL seit Je üblich werden wir mit einem Ansatz in Gl. ( 1 ) hinein gehen.  Ich mache nämlich den kühnen Vorschlag, dass ( 1 ) vollständig zerfällt; d.h. wir hätten sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 108 zu raten.

Ganz so schlimm ist es nun auch wieder nicht; denn ggt x1;2;3 = 3  Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder? Diesmal meine Entdeckung; sei m ein Teiler.


m | x1;2;3  <===> m | a2 ; m ² | a1 ; m ³ | a0     ( 2a )


Ein m , das die rechte Seite von ( 2a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms ( 1 ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . Unsere Behauptung


ggt x1;2;3 =gkt ( f )    ( 2b )


Diese Aussagen über den gkt stellen ein schwer wiegendes Indiz dar, dass Gauß gar nicht der Entdecker des Satzes von der rationalen Nullstelle ( SRN ) sein kann entgegen der Behauptung von Wiki. Gauß, dem " Teilerfürsten " , sollten diese Zusammenhänge nicht aufgefallen sein; ja in den letzten 200 Jahren sollte niemand nach diesem ggt gefragt haben? Völlig abwegig. So fällt denn die Einsilbigkeit der Wikidiktion ins Auge; Zusammenhänge mit anderen, tiefer liegenden Erkenntnissen scheint Wiki nicht zu kennen.

Historisch scheinen diese Zweifel durchaus plausibel. Bekanntlich beschäftigte sich Gauß mit der Kreisteilungsgleichung und verfügte - makaber genug - der Sinus des 17-Ecks sei in seinen Grabstein einzumeißeln. Da liegrt doch die Vermutung nahe, dass er den Ruhm einheimsen wollte für die Quadratur des Kreises und nicht für diophantische Polynome.

Es gibt noch einen zweiten Punkt, der praktisch allen Unkenrufen den Todesstoß versetzt, Gauß könne der Entdecker des SRN sein - doch das gehört nicht unmittelbar hierher. Meine Vermutung: Der SRN wurde erst vor wenigen Jahren anonym von einem Hobbymatematiker und Betreiber eines Internetportals gefunden.

( WARUM ist wurzel 2 irrational; warum kennen eure Lehrer den SRN nicht??? )

Genau wie man jeden Bruch kürzen kann durch den ggt von Zähler und Nenner, so lässt sich auch jedes Polynom durch seinen gkt kürzen. dies geschieht vermittels der Substitution


x =: u * gkt ( f ) = 3 u     ( 3a )

f ( u ) = ( 3 u ) ³  - 3 ( 3 u ) ²  -  4 * 3 ²  ( 3 u ) + 4 * 3 ³  =  ( 3b )

=  3 ³ ( u ³ - u ²  - 4 u + 4  )  (  3c )


Ja wir müssen nicht einmal mehr die möglichen Zerlegungen der 4 raten; man sieht unmittelbar


f ( u )  = u ² ( u - 1 ) - 4 ( u - 1 )   =  ( 4a )

= ( u - 1 )  ( u ² - 4 ) =  ( u + 2 ) ( u - 1 )  ( u - 2 )   ( 4b )

von 1,2 k

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