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Aufgabe (Geraden in der Ebene):

Begegnungsproblem auf hoher See

Kapitän Horner ist mit seinem Frachtschiff Berta mal wieder auf dem Atlantik unterwegs. Regelmäßig beobachtet er den Radarschirm. Das Koordinatensystem auf dem Schirm ist so eingerichtet, dass die \( \mathrm{x} \)-Achse von Westen nach Osten verläuft und die \( y \)-Achse von Süden nach Norden. Der Ursprung L wird durch einen Leuchtturm markiert. Die Längeneinheiten auf beiden Achsen sind in Seemeilen (sm) angegeben.

Um 13:00 Uhr befindet sich die Berta an der Stelle mit den Koordinaten \( (3 \mid 0) \). Außerdem erkennt Kapitän Horner noch ein weiteres Schiff, die Ariane, an der Stelle \( (0 \mid 2) \).

Eine Stunde später, um 14:00 Uhr befindet sich die Berta an der Stelle \( (6 \mid 2) \) und die Ariane an der Stelle \( (4 \mid 3) \).

Der geradlinige Kurs beider Schiffe wird mithilfe von „Richtungsvektoren" \( \vec{u}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) \) und \( \vec{v}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right) \) beschrieben.

blob.png

a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die beiden Schiffe? In welcher Position befinden sich die Beiden jeweils um 15:00 Uhr (15:30, 16:00, 17:00)? Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeiten gleich bleiben.

b) Bordingenieur Ingo berechnet schnell, wo sich die beiden fiktiven Kursgeraden schneiden. Er findet mit dem nebenstehenden Ansatz den Schnittpunkt S. Erklären Sie diesen Ansatz und bestätigen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes durch eigene Rechnung.

c) Muss der Kapitän nun die Kursrichtung seines Schiffes ândern, um einen Zusammenstoß zu vermeiden? Berechnen Sie dazu den jeweiligen Zeitpunkt, zu dem sich die beiden Schiffe in der Position \( S \) befinden.

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a)

Ariane: X = [0, 2] + r·([4, 3] - [0, 2]) = [0, 2] + r·[4, 1]

Berta: X = [3, 0] + r·([6, 2] - [3, 0]) = [3, 0] + r·[3, 2]

|[4, 1]| = √(4^2 + 1^2) = √17 = 4.123 sm/h

|[3, 2]| = √(3^2 + 2^2) = √13 = 3.606 sm/h

[0, 2] + 2·[4, 1] = [8, 4]

[0, 2] + 2.5·[4, 1] = [10, 4.5]

[0, 2] + 3·[4, 1] = [12, 5]

[0, 2] + 4·[4, 1] = [16, 6]

[3, 0] + 2·[3, 2] = [9, 4]

[3, 0] + 2.5·[3, 2] = [10.5, 5]

[3, 0] + 3·[3, 2] = [12, 6]

[3, 0] + 4·[3, 2] = [15, 8]

b)

[0, 2] + r·[4, 1] = [3, 0] + s·[3, 2]

4·r - 3·s = 3

r - 2·s = -2

Wir lösen das LGS und erhalten die Lösung: r = 2.4 ∧ s = 2.2

S = [0, 2] + 2.4·[4, 1] = [9.6, 4.4]

S = [3, 0] + 2.2·[3, 2] = [9.6, 4.4]

c)

Ariane passiert den Schnittpunkt um 13:00 + 2.4 h = 15:24.

Berta passiert den Schnittpunkt um 13:00 + 2.2 h = 15:12.

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