Stochastik - Wahrscheinlichkeit p herausfinden

Question

An der Kasse eines Erlebnisparks werden Bargeld und Kreditkarten akzeptiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher mit Bargeld bezahlt beträgt p. Es werden im Folgenden 12 zufällig ausgewählte Personen betrachtet.

Ermitteln SIe wie groß p mindestens sein müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 0,5 alle 12 Personen mit Bargeld bezahlen:

Mein Ansatz:

0,5=1-(1-p)¹²

Ich komme dann auf p=0,0561

Kann das stimmen? Mir kommt das ein bisschen wenig vor.

Danke fürs Nachrechnen!

LG

Answer 1

Hi Simon,

das macht in der Tat keinen Sinn. \(p\) ist doch schon die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit Bargeld zahlt, also wäre der richtige Ansatz:

$$ 0,5 \leq p^{12} $$

Gruß

Comments

Klingt plausibel, aber warum führt mein Weg nicht zum Teil?

Alle bezahlen mit Bargeld: Wahrscheinlichkeit p^12

Gegenereignis: Keiner bezahlt mit Bargeld: (1-p)^12

Also kann ich doch sagen, dass 1-(1-p)^12 nichts anderes wie p^12 ist?

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Nein, das Gegenereignis zu "keiner bezahlt mit Bargeld" ist nicht "alle bezahlen mit Bargeld" sondern "mindestens einer zahlt mit Bargeld".

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Alles klar. Was wäre dann das Gegenereignis zu alle bezahlen mit Bargeld?

Höchstens einer bezahlt mit Bargeld?

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Mindestens einer bezahlt nicht mit Bargeld

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Mindestens einer zahlt nicht mit Bargeld = mindestens einer zahlt per Kreditkarte

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Da muss ich wohl noch ein wenig üben.

Kannst du mir die Frage noch schnell beantworten (falls du Zeit hast)?

https://www.mathelounge.de/228538/stochastik-binomialverteilung-wahrscheinlichkeit-innerh

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Gast, beeindruckende Assoziationsfähigkeit.

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Sagen wir mal n=10 (nur ein Beispiel jetzt)

Ereignis: Mehr als 8

Gegenereignis: Höchstens 8

Stimmt das?

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Jap das ist korrekt :)

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Es ist doch so, dass die Summe aus Gegenereignis und Ereignis selbst wieder "n" ergeben muss, oder irre ich mich gerade?

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Nein die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben.

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Ja, schon.

Wenn wir nochmal kurz zum Beispiel zurückkommen (n=10)

Ereignis: Mehr als 8  →8,9,10

Gegenereignis: Höchstens 8 → 0,1,...,8

Das ergibt doch dann schließlich ein Intervall von 0-10, also mein "ganzes" n.

Das wollte ich mit meiner Frage andeuten.

War das dann nur Zufall hier?

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1. Mehr als 8 bedeutet die Fälle 9 und 10 (8 gehört nicht dazu!).

2. Das mit Summe war dann unglücklich ausgedrückt obwohl schon klar war was du meinst. Besser:

Die Vereinigung der Ergebnismenge eines Ereignis mit der Ergebnismenge seines Gegenereignis ergibt die gesamte Ergebnismenge.

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1. Meinte ich natürlich ;)

2. Mit mathematischen Definitionen kenne ich mich nicht so gut aus.

Dann wäre alles geklärt, danke!

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Ich muss dich doch nochmal etwas fragen ;)

Die Vereinigung der Ergebnismenge eines Ereignis mit der Ergebnismenge seines Gegenereignis ergibt die gesamte Ergebnismenge.

Ich beziehe mich nochmal auf die eigentliche Aufgabenstellung.

Ermitteln SIe wie groß p mindestens sein müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 0,5 alle 12 Personen mit Bargeld bezahlen:

Ereignis: Alle 12 zahlen mit Bargeld

Gegenereignis: Müsste doch dann eig. "Keiner zahlt mit Bargeld" sein und nicht "Mindestens einer zahlt nicht mit Bargeld".

Ansonsten erhalte ich doch nicht meine "gesamte Ergebnismenge"?

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Wenn es so wäre, wie du sagst, dann wären die einzigen Möglichkeiten "alle" oder keiner. Der Fall "zwei zahlen bar" wird weder im Gegenereignis, noch im Ereignis abgedeckt.

Wenn das Ereignis "alle zahlen bar" ist, so muss das Gegenereignis "mindestens einer zahlt nicht in bar" sein, denn nur so sind alle Ergebnisse abgedeckt.

Vielleicht hilft es dir, wenn du dir mit Hilfe des Wortes "nicht" klar machst, wie man Ereignisse/Aussagen korrekt negiert.

In diesem Fall: Ereignis: "Alle zahlen bar". Gegenereignis: "nicht alle zahlen bar". Was heißt es, dass nicht alle bar zahlen? Mindestens einer zahlt nicht in bar.

Oder in abstrakt:

Für alle gilt x.

Die Negation ist NICHT: Für niemanden  gilt x.

Sondern: es gibt jemanden, für den x nicht gilt.

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Vielleicht hilft es dir, wenn du dir mit Hilfe des Wortes "nicht" klar machst, wie man Ereignisse/Aussagen korrekt negiert.

In diesem Fall: Ereignis: "Alle zahlen bar". Gegenereignis: "nicht alle zahlen bar". Was heißt es, dass nicht alle bar zahlen? Mindestens einer zahlt nicht in bar.

Ich glaube, das ha gesessen. Kann dadurch eine ganz gute Verknüpfung herstellen zwischen Ereignis und Gegenereignis.

Answer 2

(12 über 12)*p^12*(1-p)^0 >= 0,5

p^12 >0.5

p>= 0,5^{1/12}

p>= 0,9439