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Hi ich soll zeigen, dass an = 1/n das Cauchy Kriterium erfüllt, sie also eine Cauchy Folge ist,

und dass bn = n dies nicht ist.

Ich habe jetzt :

 

Sei ξ > 0 und m,n € N mit n>m sowie n0 = _____

|1/n - 1/m| = (n-m)/(nm) <= n /nm = 1/m = ξ   =>   n0 = 1/ξ

===> |1/n - 1/m|<1/n0 = ξ

 

für bn =  n :

|n-  m| < n = ξ    => n0 = ξ

|n - m| < n = n = ξ    und dass das gegen  n >= n0 und n>m in diesem Fall mit n=n0 widersprüchlich ist.

 

Ich denke es ist total falsch, aber ich kommt einfach nicht weiter.

von

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Sei ξ > 0 und m,n € N mit n>m ≥no und sei n0 = __1/ξ___

|1/n - 1/m| = (n-m)/(nm) <= n /nm = 1/m = ξ   =>   n0 = 1/ξ

===> |1/n - 1/m|<1/n0 = ξ

1. Teil. Scheint mir vernünftig. Ich würde nun zu Beginn gleich den gelben Teil einsetzen und dann zeigen, dass damit das Cauchykriterim erfüllt ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man n>m voraussetzen.

 

2. Teil

für bn =  n :

|n-  m| < n = ξ    => n0 = ξ

|n - m| < n = n = ξ    und dass das gegen  n >= n0 und n>m in diesem Fall mit n=n0 widersprüchlich ist.

Beweis durch Widerspruch:

Sei Epsilon = 1/2 und no eine Zahl so dass

|n-m| < Epsilon für alle n,m>no.

Nun nehme ich n= no+1 und m =no+2 und erhalte

|n-m| = |1-2| = 1 < 1/2. Steht im Widerspruch zur Annahme, dass das Cauchykriterium erfüllt ist.

von 162 k 🚀

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