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Aufgabe:

Die Folge \( \left(a_{n}\right) \) sei monoton fallend. Ferner konvergiere die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{x} a_{n-} \) Dant gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot a_{n}\right)=0 . \) (Hinweis: Cauchy-Kriterium!)

Beweisen Sie: Sei \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) eine absolut konvergente Reihe und \( \left(b_{n}\right) \) eine beschränkte Zahlenfolge, dann ist die Reihe \( \sum \limits_{m=1}^{\infty} a_{n} b_{n} \) absolut konvergent.


Ich kann mir natürlich dabei so Frage stellen wie: Wann ist eine Reihe konvergent, wenn sie aus einer Nullfolge besteht oder mir das anschaulich klar machen. Aber das ist dann leider kein Beweis.

von

1 Antwort

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Gedanken zu sammeln und Definitionen verstehen sind ja schonmal paar Grundsteine für den Anfang solcher Beweise. Was aber unbedingt nötig ist:

1) Assoziation korrekter Aussagen mit dem Ziel einer logischen Schlussfolgerung

2) Das ganze in mathematischer Notation hinzubekommen.

Zu den Aufgaben:

1)

\((a_n)\) ist eine Nullfolge mit positiven Folgenglieder.

Angenommen \( \lim \limits_{n \to \infty} na_n \neq 0 \Rightarrow \exists \ n_0 \in \mathbb{N}\) für ein \( e \gt 0: na_n \gt e ~ \forall n \geq n_0  \)

Das bedeutet aber \( a_n > \frac{e}{n} \ \forall n \geq n_0 \)

Versuche jetzt den Widerspruch zum Cauchy-Kriterium zu finden. Tipp: Harmonische Reihe erkennen.

2) Die Aufgabe ist eigentlich sehr simpel, verwende die Bedeutung der Beschränkheit von \( (b_n) \):

$$ \exists s \in \mathbb{R}_+ : |b_n| \leq s \ \forall n \in \mathbb{N}$$

und eine konvergente Majorante.


Gruß

von 24 k

Ok, also ich weiß, dass fürs Cauchy Kriterium gilt:

Für alle Epsilon größer 0 existiert ein n0 aus IN für alle m, n >= n0 für das gilt: Iam-anI < Epsilon

Die harmonische Reihe ist ja ∑ (1/n). Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht so genau, wo ich die da erkennen soll bzw., was ich machen soll :(

Ich hätte jetzt einfach gesagt, dass es nicht größer Epsilon sein darf laut der Def. vom Cauchy Krit. und fertig ...

Das ist nicht wirklich wie man etwas beweist.

In erster Linie wird hier auf das Cauchy-Kriterium für Reihen angespielt. Kennst du das Minorantenkriterium? Ich hab dir dort oben Grundbausteine für eine divergente Minorante gebastelt.

Du meinst, ich beginne mit dem Betrag der harmonischen Reihe und schätze es dann ab, sodass ich am Ende eine Minorante herausbekommen?

Ja du kannst die harmonische Reihe verwenden um

$$ \sum \limits_{n = n_0}^{\infty} a_n $$

abzuschätzen. Die Konsequenz des ganzen muss dir natürlich für den darauffolgenden Schritt bewusst sein.

Aha! Ok, danke, ich versuche mich mal und melde mein Ergebnis dann hier heute Abend :)

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