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ich gehe zur Zeit in die zehnte Klasse. Nun habe ich mir im Internet eine Matheklausur des Mathe-LK gekrallt, in der es um Analysis und analytische Geometrie geht. Nun bin ich die fleißig am Lösen...bei einer Aufgabe bin ich mir aber wegen der Lösung unsicher, ob die Darstellung so richtig ist...

Aufgabe:

a) Bestimme den Parameter t so, dass sich die Geraden g1 und g2 senkrecht schneiden:

$$ { g }_{ 1 }: \vec{ x }= \begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix}$$

$$ { g }_{ 2 }: \vec{ x }= \begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1\\t\\3 \end{pmatrix}$$

b) Gib eine Gleichung einer Ebene an, die von g1 im Punkt P(3|4|6) senkrecht geschnitten wird.

c) Überprüfe, ob die Gerade g1 vollständig in der Ebene E verläuft:

E: 4x -4y +5z = 26


Meine Lösungen:

a) Wenn g1 und g2 sich senkrecht schneiden, so sind ihre Richtungsvektoren orthogonal. Das heißt, ihr Skalarprodukt muss 0 sein:

$$ \begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\t\\3 \end{pmatrix} = 0$$

Nach t auflösen:

3 -2t -12 = 0

-2t -9 = 0

-2t = 9

t = -9/2

=> t muss -9/2 sein, damit das Skalarprodukt 0 ist.


b) Der Richtungsvektor von g1 ist der Normalenvektor der Ebene. Der Punkt P dient als Stützpunkt, was heißt, dass der dazugehörige Ortsvektor in der Ebene liegt. Die Normalenform der Ebene ist:

$$E: (\vec{ x }-\vec{p})\cdot\vec{n} = 0$$

=> Einsetzen der Vektoren:

$$E: (\vec{ x }-\begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix})\cdot\begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix} = 0$$

c) E: 4x -4x +5z = 26

Einsetzen von g1 in E.

4(3+3r)-4(4-2r)+5(6-4r) = 26

12 +12r -16 +8r +30 -20r = 26

26 = 26

=> g1 liegt vollständig in der Ebene, da die Gleichung unendlich viele Lösungen hat.


Mir geht es weniger um die Richtigkeit (obwohl ich es schön fände, wenn alles so stimmen würde), sondern mehr darum, ob meine Darstellung bzw. das Aufschreiben der Rechenwege so korrekt ist.

LG Sophie

von 1,7 k
Hi, Rechnungen sind richtig, Darstellung ist auch gut.

Hier ist ein Tippfehler drin: c) E: 4x -4x +5z = 26

Dies hier:

$$ E: (\vec{ x }-\begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix})\cdot\begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix} = 0 $$würde ich so schreiben:

$$ E: \left(\vec{ x }-\begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix} = 0 $$Mit "\left(" und "\right)" bekommst Du ein sich anpassendes Klemmernpaar.

vielen lieben Dank für den Hinweis :)

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Alles richtig und vorbildlich aufgeschrieben.

von 8,8 k
+1 Daumen

Sieht alles soweit ich gesehen habe richtig aus und auch deine Schreibweise ist absolut in Ordnung.

Kleiner Tipp. Im Web gibt es Abituraufgaben mit Lösung. Ich würde zur Übung immer welche mit vorhandener Lösung zu rechnen, damit man sich selber kontrollieren kann.

von 385 k 🚀

danke :)

Lösungen an sich stehen bei, aber da sind eben die Lösungen einer Schülerin beigefügt. Allerdings stand daneben, sie hätte es falsch dargestellt, weshalb ich hier nochmal nachgefragt habe (die richtige Darstellung stand nämlich nicht bei).

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Gefragt 25 Okt 2020 von Schüler.xyz

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