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Aufgabe:

qR,q1 q \in \mathfrak{R}, \quad q \neq 1 .

Zeige dass für alle nN0 n \in \mathrm{N} 0 gilt:

k=0n1(1+q(2k))=q(2k)1q1=k=02n1qk \prod \limits_{k=0}^{n-1}\left(1+q^{\left(2^{k}\right)}\right)=\frac{q^{\left(2^{k}\right)}-1}{q-1}=\sum \limits_{k=0}^{2^{n}-1} q^{k}

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Nur um hier mal mit dem Missverständnis aufzuräumen:

Der Induktionsanfang kann bei n=0n=0 beginnen.

Auf der linken Seite ergibt sich das leere Produkt, welches per Definition 1 ist. Auf der rechten Seite haben wir eine Summe mit nur einem Summanden und zwar für den Fall k=0k=0.

1 Antwort

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Ich würde die Produkt und die Summenformel getrennt versuchen mit der Vollständigen Induktion zu beweisen.

Induktionsanfang: n =1

Π (k = 0 bis 1 - 1) (1 + q2^k) = (q2^1 - 1) / (q - 1)

1 + q2^0 = (q2^1 - 1) / (q - 1)

1 + q = (q2 - 1) / (q - 1)

1 + q = (q + 1)·(q - 1)/(q - 1)

1 + q = q + 1

wahr

Avatar von 493 k 🚀

Danke, ich hab den Induktionsanfang schon mit n=0 gemacht, aber ich glaube die wollen n -> n+1 bewiesen haben... ich hab keine Ahnung wie man das machen könnte :-/

Du darfst doch gar nicht für n = 0 einsetzen. Dann hast du doch eine Summe von 0 bis -1 ?

Beim Induktionsschritt setzt du in die Formel die du beweisen sollst für n einfach n + 1 ein. Die linke Seite zerteilst du dann in das Produkt bis n - 1 und den Faktor für n.

Dann darfst du Die Gültigkeit für n voraussetzen.

Das könnte dann für die Produktformel wie folgt aussehen. Für die Summenformel müsstest du es dann noch genau so nachweisen.

Induktionsanfang: n=1 n=1
Π(k=0bis11)(1+q(2k))=(q(21)1)/(q1)1+q(20)=(q(21)1)/(q1)1+q=(q21)/(q1)1+q=(q+1)(q1)/(q1)1+q=q+1 \begin{array}{l} \Pi(k=0 b i s 1-1)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} 1\right)-1\right) /(q-1) \\ 1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} 0\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} 1\right)-1\right) /(q-1) \\ 1+q=\left(q^{\wedge} 2-1\right) /(q-1) \\ 1+q=(q+1) \cdot(q-1) /(q-1) \\ 1+q=q+1 \end{array}

wahr

Induktionsschritt: nn+1 n \rightarrow n+1
Π(k=0 \Pi(k=0 bis (n+1)1)(1+q(2k))=(q(2(n+1))1)/(q1) (n+1)-1)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) Π(k=0bisn)(1+q(2k))=(q(2(n+1))1)/(q1) \Pi(k=0 b i s n)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) Π(k=0bisn1)(1+q(2k))(1+q(2n))=(q(2(n+1))1)/(q1) \Pi(k=0 b i s n-1)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)^{*}\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) (q(2n)1)/(q1)(1+q(2n))=(q(2(n+1))1)/(q1) \left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1\right) /(q-1)^{\star}\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) (q(2n)1)(1+q(2n))=q(2(n+1))1 \left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1\right)^{\star}\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 q(2n)+q(2n)q(2n)1q(2n)=q(2(n+1))1 q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)^{*} q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1-q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 q(2n)q(2n)1=q(2(n+1))1 q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)^{*} q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 q(2n+2n)=q(2(n+1))1 q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n+2^{\wedge} n\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 q(22n)=q(2(n+1))1 q^{\wedge}\left(2^{*} 2^{\wedge} n\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 q(2(n+1))=q(2(h+1))1 q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(h+1)\right)-1

wahr

Wahnsinn, danke dir :) also n=0 geht, nach Konvention wird wenn die Laufvariable > Endwert in der Produktformel ist, das Ergebnis=1.

In deinem Ergebnis hast du vergessen das (-1) auf der rechten Seite wegzulassen, aber kein Problem... Weißt du zufällig auch wie man die rechte Seite beweisst also

(q2^n-1)/(q-1)=Sigma(k=0 bis 2n-1)=qk für n -> n+1?

Danke. Ja ich habe vergessen auf der rechten Seite auch die -1 wegzunehmen.


Der rechte Teil sollte noch einfacher sein.

Substituiere z = 2n

und dann beweise die allgemeine geometrische Summenformel

z.B. https://www.mathelounge.de/167381/summenformel-geometrische-vollstan…

Die wurde hier auf der Seite aber mehrfach vorgerechnet weshalb ich hier darauf verzichte.

Ich hab's mal probiert, aber weiß nicht ob das stimmt:

∑(k=0 bis (2n)-1) (qk)  n->n+1=(q2^n-1)/(q-1)

n->n+1

∑(k=0 bis 2n+1-1) (qk) = (q2^{n+1}-1)/(q-1)

Substitution mit z=2n+1

∑(k=0 bis z-1) (qk) = (qz-1)/(q-1)

∑(k=0 bis z) (qk - qz) = (qz-1)/(q-1)   /+qz

∑(k=0 bis z) (qk) = (qz-1)/(q-1) + qz(q-1)/(q-1)

∑(k=0 bis z) (qk) = (qz-1+qz+1-qz)/(q-1)

∑(k=0 bis z) (qk) = (qz+1-1)/(q-1)

Rücksubstitution: z= 2n+1

∑(k=0 bis 2n+1) (qk) = (q2^{n+1+1}-1)/(q-1)

Stimmt das so, oder hab ich was falsch gemacht? Ich komme da mit 2n+1+1 durcheinander... :)

Sorry, Klammer vergessen, raus kommt bei mir:

∑(k=0 bis 2n+1) (qk) = (q2n+1+1)-1)/(q-1)

Kann das stimmen?

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