Hi,
Edit: Aufgrund des guten Hinweis vom Gast und damit man nicht den ganzen Verlauf nachlesen muss
Ohne Unentschieden:
es muss gelten:
$$ (1-p)^2 = 0.5 \wedge p + (1-p)\cdot p = 0.5 $$
Beide Gleichungen sind äquivalent.
Aus der 1. Gleichung folgt direkt: \(\large p = 1- \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Mit der Möglichkeit auf Remis:
\(p\): Wahrscheinlichkeit das Max ein Spiel gewinnt
\(q\): Wahrscheinlichkeit das Moritz gewinnt
\(r\): Wahrscheinlichkeit für ein Remis
Dann ist die Wahrscheinlichkeit \(P\), dass Max das Turnier gewinnt der Grenzwert:
$$P = p \sum_{k=0}^{\infty} r^k + qp \sum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1} = \frac{p}{1-r} + \frac{qp}{(1-r)^2} $$
Die Wahrscheinlichkeit \(Q\), dass Moritz das Turnier gewinnt der Grenzwert:
$$ Q =q^2 \sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1} = \frac{q^2}{(1-q)^2} $$
Diese Wahrscheinlichkeiten sollen gleich sein:
$$ P = Q $$
Unter der Verwendnung von \(1-r = p+q \) suchen wir also die Lösungen der Gleichung:
$$ p^2+2qp = q^2 $$
Es ergeben sich unendlich viele Lösungen, wobei der Zusammenhang
$$ p = q(\sqrt{2}-1) $$
besteht.
Insgesamt ergibt sich dies jedoch weiterhin zu der Lösung: \( P = Q \approx 0.5 \), da die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden unendlich weiter spielen gegen 0 tendiert.
Gruß
