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\( f(t)=\frac{15}{1+5 e^{-30 t}} \)

Mein Ansatz:

blob.png




Durch ableiten von f(t) soll die untere Differentialgleichung raus kommen...


\( \left.f^{\prime}(t)=2 \cdot f(t) \cdot (15-f(t)\right) \)


Mein Problem ist, dass ich durch ableiten nicht weiter komme.. was mache ich falsch. Man kann doch nur die kettenregel anwenden da ja nur im nenner ein x vorkommt und wenn man es als Produkt schreibt ist ja auch nur in dem einen Produkt ein x also keine Quotienten- und keine Produktregel...

Also wo liegt mein Denkfehler...

Gruß

von

2 Antworten

+1 Daumen
Du hast aber die Kettenregel nicht richtig angewandt:
f(x) = 15*(1+5e - 30t ) -1

f ' (x) = - 15 * ( 1+5e - 30t ) -2 *(-30)*5*e - 30t      

               die Klammer hoch -1 gibt als Abl -1 * Klammer hoch -2 und dann erst * Abl. des Klammerinhalts.


von 229 k 🚀

Engel101 hat hier https://www.mathelounge.de/231512/herleitung-differentialgleichung-logistischen-rechnung weitergemacht und steckt anscheindend wieder fest.

ja dann kannst du mir ja helfen ...

+1 Daumen

Du hast die Kettenregel falsch angewendet:

Der erste Schritt ist soweit noch okay, also:
f(t)= 15* (1+5e^{-30t} ) ^{-1}

Du machst den Fehler, und leitest die innere Funktion ab und ersetzt sie mit der Ableitung.


Bei der Kettenregel gilt aber: innere Ableitung mal äußere Ableitung.

Wir bilden also die innere Ableitung: -150e(^-30t)

Und unsere äußere Funktion ist x^{-1}. Die äußere Ableitung ist somit: -1 x^{-2}

Wir multiplizieren innere mit äußerer Ableitung:

-150e(^-30t)* -1 x^{-2} = 150e(^-30t)* x^{-2}

Für x behalten wir aber die ursprüngliche innere Funktion bei. Das besagt die Kettenregel nämlich, also:

f'(x) = -15* 150e(^-30t)* (1+5e^{-30t}) ^{-2}

Durch umformen,müsstest du deinen Ausdruck erhalten.

von 8,8 k

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