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Ich habe keine Ahnung :(. Wäre lieb, wenn jemand helfen kann.

Danke!

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1 Antwort

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a) Sei q aus Q mit q^2 = p, dann gibt es teilerfremde a,b aus Z mit q = a/b
da q rational ist und vollständig gekürzt werden kann.

dann  q^2 = a^2 / b^2 = p
also       a^2 = p*b^2     #
Die rechte Seite ist durch p teilbar, also auch die linke.
und da p Primzahl ist, und a*a teilt,
ist es ( siehe Def. in der Aufgabe) auch Teiler von a.
Also a = k*p  also a^2=k^2 * p^2 in # eingesetzt gibt
           k^2 * p^2 =p* b^2    |:p
           k^2 * p^= b^2  
Jetzt ist offenbar die linke Seite durch p teilbar, alsi auch
die rechte und damit auch b durch p teilbar also
p ein gemeinsamer Teiler von a und b. Im
Widerspruch zur Annahme a und b wären teilerfremd.


b)   (x+y)^2 ≥ 4xy
   x^2 + 2xy + y^2 ≥ 4xy   | -4xy
x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0
(x-y)^2 ≥ 0  ist sicher wahr, da Quadrate nie negativ.


zu c) (i) ist für x1 erfüllt und mit der Rek. hast du

xn+12 = ( 1/4)  *   ( xn + a/xn)^2   wegen b) also:

≥ ( 1/4)  *  4 *  xn * a/xn   = a

(ii) folgt sofort mit Def. der Int.schacht.

(iii) Durch die Rekursion hast du ja, weil sowohl xn als auch xn+1 gegen

den gleichen Grenzwert g konvergieren:

g = 0,5 * (g + a/g)   = o,5g +  0,5a/g

0,5g =  o,5a/g

g = a/g 

g^2 = a

also g=wurzel(a)

von 229 k 🚀

Also a und b konnte ich gut nachvollziehen, vielen Dank schon einmal.

Die c verstehe ich allerdings überhaupt nicht :(

bei c) (i) prüfst du erst mal, ob es für n=1 gilt.

Da ist x1 = a und weil a≥1 gegeben war, stimmt es.


und der gegebene Tipp sagt ja, erst mal xn^2 ≥ a nachweisen.

Für größere Werte von n gilt ja die Rekursionsgleichung:

xn+12 = ( 0,5*(xn + a/xn) )^2

= 0,25  *(xn + a/xn) )^2

jetzt wendest du b) an und zwar mit x=xn und y= a/xn

dann gilt wegen b) weiter:

≥ 0,25  *  4 *  xn * a/xn   = a

also wie gewünscht  xn+12       ≥  a


Soweit kann ich es nachvollziehen.

Allerdings kommt bei mir, wenn ich n=1  einsetze nicht das selbe raus.

Das mit der Intervallschachtelung verstehe ich nicht.

zu (iii)

Liegt dieser Grenzwert für a=7 in Q? Für a=25?

g ist wurzel(a) , also für a=7 nicht in Q wohl aber für 25

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