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(a) Sei pN p \in \mathbb{N} eine Primzahl, d.h. teilt p p ein Produkt ab a b , so teilt p p auch (mindestens) einen der Faktoren, a a oder b b .

Zeigen Sie: Es existiert kein qQ q \in \mathbb{Q} , das q2=p q^{2}=p erfüllt.

(b) Seien x,yR x, y \in \mathbb{R} beliebig. Zeigen Sie, dass (x+y)24xy (x+y)^{2} \geq 4 x y .

(c) Sei aQ,a1 a \in \mathbb{Q}, a \geq 1 , fest gewählt. Wir definieren rekursiv eine Folge durch

x1 : =axn+1 : =12(xn+axn) \begin{aligned} x_{1} &:=a \\ x_{n+1} &:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \end{aligned}

(i) Zeigen Sie: Für alle nN n \in \mathbb{N} ist xnxn+1 x_{n} \geq x_{n+1} und xn1 x_{n} \geq 1 .

Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der (b) dass xn2a x_{n}^{2} \geq a für alle nN n \in \mathbb{N} .

(ii) Zeigen Sie, dass [axn,xn] \left[\frac{a}{x_{n}}, x_{n}\right] eine Intervallschachtelung ist.

Insbesondere konvergiert (xn)nN \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} also in R \mathbb{R} .

(iii) Berechnen Sie limnxn \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} in Abhängigkeit von a a .

Liegt dieser Grenzwert für a=7 a=7 in Q \mathbb{Q} ? Für a=25 a=25 ?

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1 Antwort

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a) Sei q aus Q mit q2 = p, dann gibt es teilerfremde a,b aus Z mit q = a/b
da q rational ist und vollständig gekürzt werden kann.

dann q2 = a2 / b2 = p
also       a2 = p*b2     #
Die rechte Seite ist durch p teilbar, also auch die linke.
und da p Primzahl ist, und a*a teilt,
ist es ( siehe Def. in der Aufgabe) auch Teiler von a.
Also a = k*p also a2=k2 * p2 in # eingesetzt gibt
           k2 * p2 =p* b2    |:p
           k2 * p^= b2  
Jetzt ist offenbar die linke Seite durch p teilbar, alsi auch
die rechte und damit auch b durch p teilbar also
p ein gemeinsamer Teiler von a und b. Im
Widerspruch zur Annahme a und b wären teilerfremd.


b)   (x+y)2 ≥ 4xy
   x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy   | -4xy
x2 - 2xy + y2 ≥ 0
(x-y)2 ≥ 0  ist sicher wahr, da Quadrate nie negativ.


zu c) (i) ist für x1 erfüllt und mit der Rek. hast du

xn+12 = ( 1/4)  *   ( xn + a/xn)2   wegen b) also:

          ≥ ( 1/4)  *  4 *  xn * a/xn   = a

(ii) folgt sofort mit Def. der Int.schacht.

(iii) Durch die Rekursion hast du ja, weil sowohl xn als auch xn+1 gegen

den gleichen Grenzwert g konvergieren:

g = 0,5 * (g + a/g)   = o,5g +  0,5a/g

0,5g =  o,5a/g

    g = a/g

g2 = a

also g=√(a)

Avatar von 289 k 🚀

Also a und b konnte ich gut nachvollziehen, vielen Dank schon einmal.

Die c verstehe ich allerdings überhaupt nicht :(

bei c) (i) prüfst du erst mal, ob es für n=1 gilt.

Da ist x1 = a und weil a≥1 gegeben war, stimmt es.


und der gegebene Tipp sagt ja, erst mal xn2 ≥ a nachweisen.

Für größere Werte von n gilt ja die Rekursionsgleichung:

xn+12 = ( 0,5*(xn + a/xn) )2

= 0,25  *(xn + a/xn) )2

jetzt wendest du b) an und zwar mit x=xn und y= a/xn

dann gilt wegen b) weiter:

≥ 0,25  *  4 *  xn * a/xn   = a

also wie gewünscht  xn+12       ≥  a


Soweit kann ich es nachvollziehen.

Allerdings kommt bei mir, wenn ich n=1  einsetze nicht das selbe raus.

Das mit der Intervallschachtelung verstehe ich nicht.

zu (iii)

Liegt dieser Grenzwert für a=7 in Q? Für a=25?

g ist √(a) , also für a=7 nicht in Q wohl aber für 25

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