Zeigen Sie: Es existiert kein q ∈ ℚ, das q2 = p erfüllt. (Primzahl, Intervallschachtelung)

Question

(a) Sei $p \in \mathbb{N}$ eine Primzahl, d.h. teilt $p$ ein Produkt $a b$, so teilt $p$ auch (mindestens) einen der Faktoren, $a$ oder $b$.

Zeigen Sie: Es existiert kein $q \in \mathbb{Q}$, das $q^{2}=p$ erfüllt.

(b) Seien $x, y \in \mathbb{R}$ beliebig. Zeigen Sie, dass $(x+y)^{2} \geq 4 x y$.

(c) Sei $a \in \mathbb{Q}, a \geq 1$, fest gewählt. Wir definieren rekursiv eine Folge durch

$\begin{aligned} x_{1} &:=a \\ x_{n+1} &:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \end{aligned}$

(i) Zeigen Sie: Für alle $n \in \mathbb{N}$ ist $x_{n} \geq x_{n+1}$ und $x_{n} \geq 1$.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der (b) dass $x_{n}^{2} \geq a$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

(ii) Zeigen Sie, dass $\left[\frac{a}{x_{n}}, x_{n}\right]$ eine Intervallschachtelung ist.

Insbesondere konvergiert $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ also in $\mathbb{R}$.

(iii) Berechnen Sie $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ in Abhängigkeit von $a$.

Liegt dieser Grenzwert für $a=7$ in $\mathbb{Q}$ ? Für $a=25$ ?

Answer 1

a) Sei q aus Q mit q² = p, dann gibt es teilerfremde a,b aus Z mit q = a/b
da q rational ist und vollständig gekürzt werden kann.

dann q² = a² / b² = p
also       a² = p*b²     #
Die rechte Seite ist durch p teilbar, also auch die linke.
und da p Primzahl ist, und a*a teilt,
ist es ( siehe Def. in der Aufgabe) auch Teiler von a.
Also a = k*p also a²=k² * p² in # eingesetzt gibt
           k² * p² =p* b²    |:p
           k² * p^= b²  
Jetzt ist offenbar die linke Seite durch p teilbar, alsi auch
die rechte und damit auch b durch p teilbar also
p ein gemeinsamer Teiler von a und b. Im
Widerspruch zur Annahme a und b wären teilerfremd.


b)   (x+y)² ≥ 4xy
   x² + 2xy + y² ≥ 4xy   | -4xy
x² - 2xy + y² ≥ 0
(x-y)² ≥ 0  ist sicher wahr, da Quadrate nie negativ.

zu c) (i) ist für x1 erfüllt und mit der Rek. hast du

x_n+1² = ( 1/4)  *   ( xn + a/xn)²   wegen b) also:

          ≥ ( 1/4)  *  4 *  xn * a/xn   = a

(ii) folgt sofort mit Def. der Int.schacht.

(iii) Durch die Rekursion hast du ja, weil sowohl x_n als auch x_n+1 gegen

den gleichen Grenzwert g konvergieren:

g = 0,5 * (g + a/g)   = o,5g +  0,5a/g

0,5g =  o,5a/g

    g = a/g

g² = a

also g=√(a)

Comments

Also a und b konnte ich gut nachvollziehen, vielen Dank schon einmal.

Die c verstehe ich allerdings überhaupt nicht :(

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bei c) (i) prüfst du erst mal, ob es für n=1 gilt.

Da ist x1 = a und weil a≥1 gegeben war, stimmt es.

und der gegebene Tipp sagt ja, erst mal xn² ≥ a nachweisen.

Für größere Werte von n gilt ja die Rekursionsgleichung:

x_n+1² = ( 0,5*(xn + a/xn) )²

= 0,25  *(xn + a/xn) )²

jetzt wendest du b) an und zwar mit x=xn und y= a/xn

dann gilt wegen b) weiter:

≥ 0,25  *  4 *  xn * a/xn   = a

also wie gewünscht  x_n+1²       ≥  a

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Soweit kann ich es nachvollziehen.

Allerdings kommt bei mir, wenn ich n=1  einsetze nicht das selbe raus.

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Das mit der Intervallschachtelung verstehe ich nicht.

zu (iii)

Liegt dieser Grenzwert für a=7 in Q? Für a=25?

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g ist √(a) , also für a=7 nicht in Q wohl aber für 25