(a) Sei p∈N eine Primzahl, d.h. teilt p ein Produkt ab, so teilt p auch (mindestens) einen der Faktoren, a oder b.
Zeigen Sie: Es existiert kein q∈Q, das q2=p erfüllt.
(b) Seien x,y∈R beliebig. Zeigen Sie, dass (x+y)2≥4xy.
(c) Sei a∈Q,a≥1, fest gewählt. Wir definieren rekursiv eine Folge durch
x1xn+1 : =a : =21(xn+xna)
(i) Zeigen Sie: Für alle n∈N ist xn≥xn+1 und xn≥1.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der (b) dass xn2≥a für alle n∈N.
(ii) Zeigen Sie, dass [xna,xn] eine Intervallschachtelung ist.
Insbesondere konvergiert (xn)n∈N also in R.
(iii) Berechnen Sie n→∞limxn in Abhängigkeit von a.
Liegt dieser Grenzwert für a=7 in Q ? Für a=25 ?