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hallo ich brauche jemand der mir die aufgabe 66 komplett lösen kann danke im voraus Bild Mathematik

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f(g(x)) = 2*(1+wurzel(1+4x^2)/x)    /   (   (1 + wurzel(1+4x^2) ) ^2 ) / x^2 - 4   )             4= 4x^2 / x^2
            2*(1+wurzel(1+4x^2)/x)    /   (   (1 + wurzel(1+4x^2) ) ^2    -4x^2 ) / x^2

           = 2*(1+wurzel(1+4x^2)/x)    /   (   (1 + 2wurzel(1+4x^2) + 1 + 4x^2 -4x^2 )  / x^2  )
          =  2*(1+wurzel(1+4x^2)/x)    /   (    (2+ 2wurzel(1+4x^2) )  /   x^2  )
         =  2*(1+wurzel(1+4x^2)/x)    /   (  2* (1  +  wurzel(1+4x^2)) / x^2  )    
             1, Bruch mal Kehrwert des 2.
           =   x^2 *  2* (1+wurzel(1+4x^2))  /  x  * 2* (1  +  wurzel(1+4x^2))
            = x

f besitzt keine Umkehrfkt, da z.B f(1+wurzel(5)) =1 und  f(1- wurzel(5)) =1
also f nicht injektiv.


von 229 k 🚀
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Hier schoneinmal die Bildung der Umkehrfunktion

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mfg

von 112 k 🚀

Na ja. Ich sehe gerade : das war nicht gefordert.

f ( x ) = 2 * x / (  x^2 - 4 )

f ( g ( x )) = f ( ( 1 + √ ( 4x^2 + 1 ) ) / x ) = ...

jetzt mußt du überall wo bei Formel f  x steht
g einsetzen. Das ist eine ziemliche Rechnerei.
Als Ergebnis muß x herauskommen.
f ( g (x) ) = x

~plot~ 2 * x / ( x^2 - 4  ) ; [[ -2 | 2 | -6 | 6  ]] ~plot~ 

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%282x%29%2F%28x%5E2-4%29%2C+g%28x%29%3D+%281+%2B+√%281%2B4x%5E2%29%29%2Fx+

Bild Mathematik

Zur Frage nach der Umkehrfunktion. Im Bereich -2 ≤ x ≤2 wir das nicht stimmen, denn die Graphen von Umkehrfunktionen sind symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden im 1. Quadranten.

Graphisch sieht es aber gut aus für die Bereiche x<-2 und x> 2.

f(x) = (2x)/(x^2-4), g(x)= (1 + √(1+4x^2))/x 

a)  du musst erst mal einsetzen

f(g(x))  = (2(1 + √(1+4x^2))/x ))/((1 + √(1+4x^2))/x)^2-4)

und nun vereinfachen.

= (2(1 + √(1+4x^2))/x ))/((1 + √(1+4x^2))^2)/x^2)-4)

= (2(1 + √(1+4x^2))/x ))/((1 + √(1+4x^2))^2 - 4x^2)/x^2)

= (2(1 + √(1+4x^2)) ))/((1 + √(1+4x^2))^2 - 4x^2)/x)

= ((2 + 2√(1+4x^2)) ))/((1 + 2√(1+4x^2) + (1+4x^2) - 4x^2)/x)

= ((2 + 2√(1+4x^2)) ))/((2 + 2√(1+4x^2))/x)

= 1/(1/x)

= x

Beachte: Alle Funktionswerte von g(x) sind betragsmässig grösser als 2. Daher ist f nur Umkehrfunktion von g für |x|>2.

c)

lim g(x)

= lim (1 + √(1+4x2))/x

= lim  (1/x  + √(1+4x2))/x )

= lim  (1/x  + 2x√(1/(4x^2)+1))/x )

= lim  (1/x  + 2√(1/(4x^2)+1)) )             | Grenzübergang x gegen unendlich.

= 0 + 2√(0 + 1)

= 2

von 162 k 🚀

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