Konvergenz zweier Folgen Analysis

Question

a_n und b_n seien reelle Folgen, die beide gegen den Grenzwert c konvergieren.

Ich soll beweisen, dass c_n mit c_2n+1 = a_n und c_2n = b_n für alle n∈ℕ ebenfalls gegen c konvergiert.

Könnte ich dies einfach nicht mit folgendem Satz beweisen?

"Sei  eine Folge.  konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein."

Answer 1

Ja. Damit kannst du das Begründen. 

cn geht für ungerade n gegen den grenzwert von an also gegen c

cn geht für gerade n gegen den grenzwert von bn also gegen c.

Beide Teilfolgen konvergieren gegen c. Damit konvergiert auch die gesamte Folge gegen c.