Funktion und Gleichungen: quadratischen Funktion y=f (x)=x^2 +2x +q mit genau einer Nullstelle.

Question

ich wollte mal fragen ob das richtig gerechnet ist.
Aufgabe :  Ergänzen Sie die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion y=f (x)=x^2 +2x +q durch einen Wert q so, dass die Parabel genau eine Nullstelle hat. Begründen Sie! 
Meine Lösung :  x^2 +2x + 1 = 0
p=2                q=1
x 1,2 = - p/2 ± √(p/2)^2 - q  x 1,2 =- 1± √1 - 1 x 1,2 = - 1± √0 x 1,2 =1±0 x 01 = - 1
So ich habe jetzt die Nullstelle - 1 ausgerechnet. Wie muss ich das begründen?   Meine Begründung: Diskriminante ist gleich 0 Ist das richtig?  LG

Comments

Ist ein bisschen verschoben. Aber ich hoffe ihr könnt es lesen

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Sieht richtig aus! Eine andere Begründung ist auch, dass x²+2x+1 dasselbe ist wie (x+1)²

=> Normalparabel um 1 nach links verschoben

Weil die Normalparabel nur eine Nullstelle hat, hat auch (x+1)² nur eine Nullstelle => auch x²+2x+1 hat eine Nullstelle.

Answer 1

Ist zwar richtig, aber Mega kompliziert. Ich bin ja der Prediger in der Wüste; Vieta das geschmähte Stiefkind.

f ( x ) := x ² - p x + q =  ( 1a )

= x ² + 2 x + q   ( 1b )

Du hast demnach p = ( - 2 ) Der Satz von vieta besagt nun

p = x1 + x2   ( 2a )

Jede quadratische Funktion hat ZWEI Wurzeln; welche mit einer gibt es gar nicht. Das siehst du sehr schön in ( 2a ) ; was du meinst, ist der Entartungsfall

x1 = x2 =: x0    ( 2b )   

, wo die Wurzel " doppelt " ist  Setzen wir mal ( 2b ) in ( 2a ) ein:

p = 2 x0 = ( - 2 ) ===> x0 = ( - 1 )   ( 2c )

Für q bietet Vieta die Aussage

q = x1 x2 = x0 ² = 1   ( 3 )

Und jetzt deine Eigenleistung: Wie lautet das Polynom?

Answer 2

JA genau richtig. Wenn die Diskriminante Null ist, ergibt sich nur eine Nullstelle. Da in der Wurzel 1 - q steht, muss man für q den Wert 1 wählen, damit unter Wurzel eine Null steht und es so nur eine Lösung gibt.

Comments

Also alles richtig?

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Ja, ich würde das auch so lösen.