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Ich habe eine Hausaufgabe auf die ich nicht beantworten kann,weil ich sie nicht verstehe. Könnt ihr mir Helfen ?Bitte mit Erklärung. .

In einer Raumstation werden biologische Experimente vorgenommen. Durch den Fehler eines unaufmerksamen Gentechnikers wird ein 1mm lager und normalerweise harmlose Wurm so programmiert, dass er seine Länge alle 15 min verdoppelt.

1. Betrachte das Wachstum der Wurmes in den ersten 5 Stunden nach dem Unfall !

2. Nach genau 5 Stunden wird ein warnendes Funksignal zur nur einen Lichttag entfernten Erde gesendet. Das Funksignal breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, also mit 300 000 km/s. Welche Strecke legt es in 1,2,3,4,5 Stunden zurück ? 

3. Wann hat das Vorderteil des Wurmes die Erde erreicht ?

4. Konnte die Erde noch rechtzeitig gewarnt werden ?

5. Wie viele Stunden ist das Funksignal unterwegs, wenn der Wurm auf die Erde trifft ?

6. Wie viele km hat das Funksignal zu diesem Zeitpunkt bereits zurückgelegt und wie weit ist es noch von der Erde entfernt ?

7. Stelle eine Gleichung auf, mit der berechnet werden kann, zu welchem Zeitpunkt der der Erde entgegen wachsende Wurm das Funksignal überholt !

8. Stelle eine Wertetabelle auf, mit der festgestellt werden kann, in welches Stunde nach Aussenden des Funksignal dieses vom Wurm eingeholt wird !

von

Mir ist noch ein Fehler aufgefallen:

7. Stelle eine Gleichung auf, mit der berechnet werden kann, zu welchem Zeitpunkt der der Erde entgegen wachsende Wurm das Funksignal überholt !

Ich habe nicht berücksichtigt, dass das Funksignal 5h Vorsprung hat. Damit ändert sich die Gleichung:
Für das Licht gilt: xL = (t-5*3600s)*300 000 km/s;
Für den Wurm gilt: L(t) = 0,001m * 2t/900s;
Es muss gelten: xL = L(t);
Die Gleichung lautet also:
(t-5*3600s)*300 000 km/s - 0,000 001 km * 2t/900s = 0;


8. Stelle eine Wertetabelle auf, mit der festgestellt werden kann, in welcher Stunde nach Aussenden des Funksignal dieses vom Wurm eingeholt wird !


WL
Zur Erklärung: Zunächst hat der Wurm einen Vorsprung. Zum einen ist er 1 mm lang, zum anderen wird der Unfall erst nach 5h gemeldet. Das Funksignal überholt den Wurm beim Schnittpunkt SP1. Der Wurm ist zu diesem Zeitpunkt gerade mal etwas mehr als 1 km lang.
Erst bei SP2 überholt der Wurm wieder das Licht.

Die Tabelle stimmt dann leider auch nicht mehr, aber da der Schnittpunkt ja in der Zeichnung angegeben ist sollte es nicht so schwer sein eine aufzustellen.

wie hast du diese Tabelle gemacht ?
Ich hab die Gleichung in Matlab eingegeben und mir dann die Ergebnisse in einer Textdatei ausgeben lassen.
Könntest du vielleicht eine neue Tabelle machen ?

Also die kannst Du auch ganz leicht selber machnen.

--> OpenOffice runterladen: http://www.openoffice.org/de/  (kostenlos)

--> Tabellenprogramm starten

--> Folgendes eintragen:

Tabelle

Bild 1: Beschriften der Spalten, Formel für die Zeit

 

Tabell 2

Bild 2: Zeitspalte mit Werten füllen

 

Tabelle 3

Bild 3: Formel für Lichtweg eingeben

 

Tabelle 4

Bild 4: Weg Licht Spalte mit Werten füllen

 

Tabelle 5

Bild 5: Formel für Wurmlänge eingeben

Die Werte füllst Du in die Zellen, wie in den anderen beiden Spalten.

Nun hast Du Deine Tabelle. Falls Du noch Fragen hast --> Kommentar.

 

lg JR

1 Antwort

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1. Betrachte das Wachstum der Wurmes in den ersten 5 Stunden nach dem Unfall !
Ansatz:
L = l*b^{t/T};
b = 2;
l = 0,001 m;
T= 15 min = 900s;
L(t) = 0,001m * 2^{t/900s};
t ∈ [0; 18 000s]
wachstum

2. Nach genau 5 Stunden wird ein warnendes Funksignal zur nur einen Lichttag entfernten Erde gesendet. Das Funksignal breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, also mit 300 000 km/s. Welche Strecke legt es in 1,2,3,4,5 Stunden zurück ?

x1 = 3600s * 300 000 km/s = 1,08*10^9 km;
x2 = 1,08*10^9 km *2;
...
x5 = 1,08*10^9 km *5 = 5,4*10^9 km;
 

 

3. Wann hat das Vorderteil des Wurmes die Erde erreicht ?

L(t) = 0,001m * 2^{t/900s};
Die Raumstation ist von der Erde einen Lichttag entfernt. Das entspricht einer Entfernung x = d*c; also Dauer eines Tages mal Lichtgeschwindigkeit. Es muss also gelten :x = L(t).
d = 24*3600s = 86 400s;
c = 300 000 km/s;
Man löst nach t auf:
L = l*b^{t/T} = x;
x/l = b^{t/T};
ln(x/l) = ln(b)*(t/T);
ln(x/l) / ln(b) * T = t;
t = ln(d*c/l) / ln(b) * T ≈ 40 103,2s;

 

4. Konnte die Erde noch rechtzeitig gewarnt werden ?

Zeit die das Funksignal braucht:
t_funk = 5h + 24h = 104 100s; //Das Signal wird erst nach 5h gesendet und braucht einen Tag bis zur Erde
t_wurm = 40 103,2s; //Der Wurm ist also schneller

 

5. Wie viele Stunden ist das Funksignal unterwegs, wenn der Wurm auf die Erde trifft ?

Das Signal des Wurms erreicht nach ca. 11h die Erde. Das heißt, da das Funksignal erst nach 5h gesendet wird, dass es 6h unterwegs ist, beim Eintreffen des Wurms.

 

6. Wie viele km hat das Funksignal zu diesem Zeitpunkt bereits zurückgelegt und wie weit ist es noch von der Erde entfernt ?

Das Licht hat zu diesem Zeitpunkt 6*3600*300 000 km = 6,48*10^9 km zurückgelegt.
Es ist noch 24*3600*300 000 km - 6,48*10^9 km = 1,944 *10^10 km von der Erde entfernt.

 

7. Stelle eine Gleichung auf, mit der berechnet werden kann, zu welchem Zeitpunkt der der Erde entgegen wachsende Wurm das Funksignal überholt !

Für das Licht gilt: xL = t*300 000 km/s;
Für den Wurm gilt: L(t) = 0,001m * 2^{t/900s};
Es muss gelten: xL = L(t);
Die Gleichung lautet also:
t*300 000 km/s - 0,000 001km * 2^{t/900s} = 0;

 

8. Stelle eine Wertetabelle auf, mit der festgestellt werden kann, in welcher Stunde nach Aussenden des Funksignal dieses vom Wurm eingeholt wird !

WL
WLT
Beim Vorzeichen Wechsel (nicht der am Anfang) der Differenz überholt der Wurm das Licht.

von 3,7 k
...hat sich viel Mühe gemacht; Anerkennung. Bestimmt ein Matheprof.

Achtung Fehler:
3. t = 49 072,4s = 14h; Hatte c nicht in m/s umgewandelt.
4. Ändert sich damit nicht
5. Das Funksignal ist also 9h unterwegs
6. (24-9) * 3600 * 300 000 km = 1,73*10^10

Anerkennung für die Mühe die du dir gemacht hast!
Naja, das ist nett. Danke. Aber stimmt es auch? Wenn Dir ein Fehler auffällt oder etwas nicht nachvollziehbar ist --> Kommentar.
Könntest du noch mal Aufgabe 3. erklären also die Variablen was die bedeuten ?
kannst du bei der dritten Aufgabe die richtigen Zahlen einsetzen.

3 . t = 49 072,4s = 14h

 

ich komme nicht auf das Ergebnis. Was mache ich falsche ?

t = ln(d*c/l) / ln(b) * T ≈ 40 103,2s; 

ich setze jetzt die Zahlen ein in die Gleichung.

2,592*10^13 : 2*900s = 1,1664^16

 

3. Wann hat das Vorderteil des Wurmes die Erde erreicht ?

Für das Wachstum des Wurmes gilt:
L(t) = 0,001m * 2t/900s;

Um nun die Zeit t zu berechnen, die der Wurm braucht um von der Raumstation zur Erde zu gelangen, muss man die Entfernung Raumstation-Erde kennen. Man weiß das die Erde einen Lichttag entfernt ist; das entspricht der Strecke, die das Licht im Zeitraum eines Tages zurücklegt.
x = d*c;
x // Entfernung Raumstation-Erde
c = 300 000 000 m/s  // Lichtgeschwindigkeit
d = 24 h = 24*3600s = 86 400s;  // Zeitraum ein Tag
x = 300 000 000 m/s * 86 400s = 2,592*10^13 m;

Wie lange braucht der Wurm um diese Länge zu erreichen? Dazu muss man x = L(t) setzen und nach t auflösen:
L = l*bt/T = x;
x/l = bt/T;
ln(x/l) = ln(b)*(t/T);
ln(x/l) / ln(b) * T = t;
t = ln(d*c/l) / ln(b) * T ≈ 13,63 h;
b = 2; //Faktor um den sich der Wurm nach ablauf von T verlängert hat
l = 0,001m; //ursprüngliche Länge des Wurms
T = 15min = 900s; //Zeit innerhalb der sich der Wurm mit Faktor b verlängert

Beantwortet das Deine Frage?

Bin mir nicht ganz sicher was Du meinst:
t = ln(d*c/l) / ln(b) * T ≈ 40 103,2s ist jedenfalls falsch, das habe ich aber auch im Kommentar vermerkt.

Ich setze mal die Zahlen ein:

ln( 24 *3600s *300 000 000 m/s   / 0,001m *900s  / ln(2) = 49 072,4s

und was bedeutet ln ?
Ah, sorry. "ln" ist der natürliche Logarithmus. Das ist der Logarithmus zur Basis e; e ist die eulersche Zahl:  e = 2,718....

Du kannst das natürlich auch mit jedem anderen Logarithmus rechnen. Der zur Basis 2 würde sich anbieten.
ich kann das immer noch nicht nachvollziehen wie du das gerechnet hast. Hast du vielleicht Skype oder so wo du es mir genau erklären kannst wie du das rechnest ?
Wenn du den Logarithmus nicht verstehst, siehe freie Videos unter:

https://www.matheretter.de/mathe-videos?s=logarithmus

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