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Ist ℚ[X]_(<3) → ℚ[X]_(<4), a_(0) + a_(1)X + a_(2)X^{2} ↦ (a_(1)+a_(2))X + a_(2)X^2 + (a_(0)-a_(2))X^3 über ℚ ein Vektrorraum Homomorphismus

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du hast ja für p = a0 + a1X + a2X2
f(p) =  f (a0 + a1X + a2X2 )   =    (a1+a2)X + a2X2 + (a0-a2)X3
und must nun prüfen ob f(p+q) = f(p) + f(q) und f ( z*p) = z * f(p)
sei also q = b0 + b1X + b2X2

dann ist ja p+q = (a0 + a1X + a2X)+( b0 + b1X + b2X2 )

=  (a0 + b0 )+ (a1 +b1)X + (a2 +b2X2  

und die Klammern spielen jetzt die Rolle von a0,a1,a2 in der Definition der Abbildung

also ist f (p+q) = ( (a0 + b0 )+ (a1 +b1))*x  +  (a1 +b1) x^2  +   ((a0 + b0 )+ (a2 +b2))x^3  

und das formst du um zu (  (a1+a2)X + a2X2 + (a0-a2)X3 )+ (   (b1+b2)X + b2X2 + (b0-b2)X3 )

= f(p) + f(q)

und bei f ( z*p) = z * f(p) entsprechend.


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