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Hallo. Kenne mich bei folgendem Beispiel überhaupt nicht aus. Vielleicht könnte mir das Beispiel jemand erklären.

Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?

von

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Hi,
Du musst das Restglied der Taylorreihe abschätzten. Für das Lagrange Restglied ergibt sich
$$ R_nf(x,a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}  $$ Bei Dir ist \( f(x) = e^x \), \( a=0\) und \( x = 2 \)
Da die n-te Ableitung von \( e^x \) wieder \( e^x \) ergibt, gilt für das Restglied
$$  R_nf(x,a) = \frac{e^\xi}{(n+1)!}2^{n+1} $$ mit \( \xi \in (0,2) \)
Da die Exponentialfunktion monoton steigend ist gilt
$$ \left| R_nf(2,0) \right| \le \frac{e^2}{(n+1)!}2^{n+1} \le 0.01  $$
Jetzt musst Du das kleinste \( n\in \mathbb{N} \) bestimmen, s.d. die Ungleichung gilt. Nach meiner Rechnung ergibt sich \( n = 10 \)

von 33 k
Also unster Prof kommt auf n=7, wobei ich nicht ganz verstehe wie er auf n-1 approximationen ganz oben kommt. Weißt du das vielleicht?
Bild Mathematik

Hi, Dein Prof hat den relativen und ich den absoluten Fehler genommen, das sollte den Unterschied erklären.

Mhm, davon steht im Skript nicht wirklich was :) Könntest du vielleicht noch etwas genauer schildern wie du im letzten Schritt dann auf 10 kommst? Wäre Klasse :)

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