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Hallo

ich habe eine Frage zur SVD. Ich habe die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) gegeben und habe die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(AA^t\) berechnet.

Die Eigenwerte sind \(\lambda_1=0, \lambda_2=3, \lambda_3=9\) und die Eigenvektoren \(v_1=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) zu \(\lambda_1=0\), \(v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) zu \(\lambda_2=3\) und \(v_4= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) zu \(\lambda_3=9\). Jetzt muss ich eine ONB aus den Eigenvektoren bilden. Also muss ich die Eigenvektoren mit Gram-Schmidt normieren, oder? Wie mache ich dann weiter?

Danke.

von

Sicher, dass die Vektoren stimmen? Die müssen schon orthogonal sein, da \( AA^T \) symmetrisch ist.

Sorry, da habe ich etwas verwechselt, die Eigenwerte sind natürlich: \(\lambda_1=-5, \lambda_2=-3, \lambda_3=0,\lambda_4=5\). Die Eigenvektoren sind jeweils \(v_1=\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix} 4 \\ 2  \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix},v_4=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Die Singulärwerte sind doch die Wurzeln der Eigenwerte von \(AA^t\), aber hier habe ich ja negative Eigenwerte. Was ist falsch?

Muss ein Rechenfehler sein, \(AA^T\) ist immer symmetrisch positiv definit. Versuch es im Zweifel mal von Wolframalpha, Maple. o.Ä. nachrechnen zu lassen. Habe leider gerade nur genug Zeit für so eine kurze Antwort.

Die alten Eigenwerte und Eigenvektoren haben schon gestimmt. Hab es von einem Programm nachrechnen lassen. Meine Frage ist, ob ich alle EIgenvektoren für die Matrix U brauche.

1 Antwort

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Also v1 und v2 sind schon orthogonal,

die musst du nur noch normieren.

und dann mit dem Gram-Sc hmidt-Verfahren weiter.

von 228 k 🚀

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