ich schreib mal \(f: G \to H\) Gruppenhomomorphismus von \((G,\circ) \) auf \((H, \bullet)\) (leichter zu unterscheiden).
Die Untergruppeneigenschaften lassen sich direkt aus den Homomorphismus-Eigenschaften von \(f\) und den Gruppeneigenschaften von \(H\) herleiten.
$$ \ker(f) = \{g \in G | f(g) = e_H \}$$
Es dürfte klar sein, dass gilt
$$f(e_G) = e_H \Rightarrow e_G \in \ker(f)$$
aber das brauchen wir nicht, alles was wir zu zeigen brauchen ist:
$$ a,b \in \ker(f) \Rightarrow a \circ b^{-1} \in \ker(f) $$
und das geht zum Beispiel so:
$$ a,b \in \ker(f): f(a\circ b^{-1}) = f(a) \bullet f(b^{-1}) = f(a) \bullet f(b)^{-1} = e_H \bullet e_H^{-1} = e_H \\ \Rightarrow a\circ b^{-1} \in \ker(f) \\ \Rightarrow \ker(f) \subset G \text{ Untergruppe }$$
Mehr ist das nicht
Gruß
