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Höhe in m und t in Wochen

Zunächst soll ich die Wachstumskonstante k bestimmen, die ich ausgerechnet habe, 0,37 müsste die Antwort sein. (Bestimmen Sie die Wachstumskonstante k, wenn die Sonnenblume in den ersten 5 Wochen der Beobachtung 0,52 m gewachsen ist. Wie hoch müsste demnach die Sonnenblume 8 Wochen nach Beginn der Beobachtung sein?)

Weiterhin lautet die Aufgabenstellung folgendermaßen:

Die Sonnenblume ist nach 8 Wochen tatsächlich nur 1,20 m hoch. Die Höhe wird deshalb für t ≥5 modellhaft beschrieben durch die Funktion h2 mit h2(t) = a-b * e-0,5*t ; a,b ∈ℝ

Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 5 und 8 Wochen. Welche Höhe wird langfristig erwartet? Welchen Nachteil hat Modell h1 gegenüber h2 ?

Besten Dank!

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1 Antwort

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Die Höhe einer Sonnenblume soll zunächst modellhaft beschrieben werden durch eine Funktion

h1(t) = 0.08·e^{k·t} ; Höhe h1(t) in m und t in Wochen

Bestimmen Sie die Wachstumskonstante k, wenn die Sonnenblume in den ersten 5 Wochen der Beobachtung 0.52 m gewachsen ist.

h1(0) = 0.08 m

h1(5) = 0.08·e^{k·5} = 0.08 + 0.52 --> k = 0.4030

Wie hoch müsste demnach die Sonnenblume 8 Wochen nach Beginn der Beobachtung sein?

h1(8) = 0.08·e^{0.403·8} = 2.010 m

Die Sonnenblume ist nach 8 Wochen tatsächlich nur 1.20 m hoch. Die Höhe wird deshalb für t ≥ 5 modellhaft beschrieben durch die Funktion

h2(t) = a - b·e^{- 0.5·t}

Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 5 und 8 Wochen.

h2(5) = a - b·e^{- 0.5·5} = 0.6

h2(8) = a - b·e^{- 0.5·8} = 1.2

a = 1.372 ∧ b = 9.409

h2(t) = 1.372 - 9.409·e^{- 0.5·t}

Welche Höhe wird langfristig erwartet?

lim (t → ∞) h2(t) = 1.372 m

Welchen Nachteil hat Modell h1 gegenüber h2 ?

h1 beschreibt ein unbeschränktes Wachstum mit einer immer größer werdenden Wachstumsgeschwindigkeit. Das ist für Wachstumsvorgänge eher unüblich, weil das Wachstum in der Regel irgendwann immer stagniert.

von 391 k 🚀
Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 5 und 8 Wochen.
h2(5) = a - b·e- 0.5·5 = 0.6
h2(8) = a - b·e- 0.5·8 = 1.2

a = 1.372 ∧ b = 9.409
h2(t) = 1.372 - 9.409·e- 0.5·t


Wie genau kann man a und b bestimmen? Kommt hier der Gauß-Algorithmus zum Einsatz? Oder ist das der komplett falsche Ansatz?

Das kannst du mit dem Gauss machen. Das ist schon richtig.

Also die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren um das a zu eliminieren. Die entstehende Gleichung nach b auflösen.

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