Bruchterm umschreiben und kürzen (1/(x+1) - 1/(x-1))/2

Question

In einer Aufgabe wird der Bruch vereinfacht. Ich kann aber den Schritt nicht vollziehen. Wie es zu der Lösung kommt.

$$\frac { \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { x - 1 } } { 2 } = \cdots = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Answer 1

Der Trick besteht darin, die Brüche so zu erweitern, dass im Nenner die 3. binomische Formel verwendet werden kann.

$$\frac { \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { x - 1 } } { 2 } = \frac { \frac { ( x - 1 ) } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) } - \frac { ( x + 1 ) } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) } } { 2 } = \frac { ( x - 1 ) - ( x + 1 ) } { 2 \left( x ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } \right) } = \frac { - 2 } { 2 \left( x ^ { 2 } - 1 \right) } = \frac { - 1 } { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) }$$

Answer 2

(1/(x+1) - 1/(x-1))/2 

=  ((x-1) /((x+1)(x-1)) - (x+1)/((x-1)(x+1)))/2

=  ((x-1) /(x²-1) - (1+x)/(x^-1))/2

= ( (x-1) -(1+x)) /(x²-1))/2

= ( (-2) /(x²-1))/(2/1)

= ( (-2) /(x²-1))*(1/2)

= ( -1) /(x²-1)