Zeigen Sie mittels der Reihendarstellung des Sinus, dass f auf R beliebig oft differenzierbar ist.

Question

Hallo :) Weiß leider nicht wie ich es lösen soll :(

Bitte um Hilfe

Die Funktion f: ℝ → ℝ sei definiert durch:

f(x) := { (Sin(x))/x  für x ≠ 0

{ 1               für x = 0

Zeigen Sie mittels der Reihendarstellung des Sinus, dass f auf ℝ beliebig oft differenzierbar ist, und berechnen Sie f⁽ⁿ⁾(0) für n ∈ ℕ₀.

Answer 1

Schreib dir doch einfach mal die Reihendarstellung vom Sinus auf. Was bewirkt das $\frac{1}{x}$? Du wirst sehen, dass du $f$ ebenfalls als Reihe darstellen kannst. Mach dir eventuell folgende Gedanken:

1. Wo konvergiert die entstandene Reihe?

2. Ist $f$ überall stetig?

Dann ist das mit der Differenzierbarkeit nur noch eine Frage der Argumentation (du weißt bestimmt wo eine Potenzreihe diffbar ist)

Gruß