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wie löst folgende Aufgabe?


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von
Weiss das niemand? :)

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Hi,
zu (i)
es gilt $$ e^{iA} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iA)^k}{k!} $$ Die Summe wird in gerade und ungerade Indizies zerlegt, dann gilt
$$ e^{iA} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iA)^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(iA)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kA^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin(A) + i\cos(A) $$

zu (ii)
Bestimme die Eigenwerte \( \lambda_{1,2} = 5 \pm 2i  \) und bestimme die Eigenvektoren. Die Matrix \( V \) die die Eigenvektoren als Spaltenvektoren enthält, diagonalisiert die Matrix und es gilt \( A = VDV^{-1} \) deshalb gilt \( e^A = V \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2}  \end{pmatrix} V^{-1} \) und wenn man alle EW und EV richtig bestimmt hat folgt durch ausmultiplizieren
$$ e^{At} = e^{5t} \begin{pmatrix}  \cos(2t) & -\sin(2t) \\ \sin(2t) & \cos(2t) \end{pmatrix} $$
von 33 k

Hi, vielen vielen Dank für deine Antwort, es hat bei mir mit deiner Anleitung geklappt :)

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Gefragt 17 Mai 2020 von Tanne07
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