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Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)
Um die Krümmung \( K(0) \) am Anfangspunkt einer ebenen, kubischen Bézierkurve zu berechnen, nutzen wir die Gegebenheiten des Kontrollpolygons. Die Krümmung \( K \) an einem Punkt gibt an, wie stark die Kurve an diesem Punkt gekrümmt ist. Für eine Bézierkurve, die durch die Kontrollpunkte \( P_0, P_1, P_2, \) und \( P_3 \) definiert ist, lautet die Gleichung für die Kurve:
\( B(t) = (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3, \quad t \in [0, 1] \)
Um die Krümmung am Anfangspunkt \( t = 0 \) zu bestimmen, benötigen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Bézierkurve an diesem Punkt.
Die erste Ableitung \( B'(t) \) gibt die Tangente an die Kurve an jedem Punkt \( t \) an:
\( B'(t) = -3(1-t)^2P_0 + 3(1-t)^2P_1 - 6t(1-t)P_1 + 6t(1-t)P_2 - 3t^2P_2 + 3t^2P_3 \)
An \( t = 0 \) vereinfacht sich dies zu:
\( B'(0) = 3(P_1 - P_0) \)
Die zweite Ableitung \( B''(t) \) gibt die Änderung der Tangente entlang der Kurve und ist wichtig für die Berechnung der Krümmung:
\( B''(t) = 6(1-t)(P_2 - 2P_1 + P_0) + 6t(P_3 - 2P_2 + P_1) \)
An \( t = 0 \) vereinfacht sich dies zu:
\( B''(0) = 6(P_2 - 2P_1 + P_0) \)
Die Krümmung \( K \) einer Kurve an einem Punkt ist definiert als:
\( K(t) = \frac{|B'(t) \times B''(t)|}{|B'(t)|^3} \)
Mit \( B'(0) \) und \( B''(0) \) können wir die Krümmung am Anfangspunkt der Bézierkurve ausrechnen. Da es sich um eine ebene Kurve handelt und damit das Kreuzprodukt zwei Vektoren in der Ebene die Determinante dieser Vektoren ist, bekommt man:
\( K(0) = \frac{|3(P_1 - P_0) \times 6(P_2 - 2P_1 + P_0)|}{|3(P_1 - P_0)|^3} \)
Vereinfachen wir dies weiterhin:
\( K(0) = \frac{18| (P_1 - P_0) \times (P_2 - 2P_1 + P_0) |}{27|P_1 - P_0|^3} \)
\( K(0) = \frac{ 2| (P_1 - P_0) \times (P_2 - 2P_1 + P_0) |}{3|P_1 - P_0|^3} \)
Um die Krümmung zu berechnen, benötigt man also die Koordinaten des Kontrollpolygons \( P_0, P_1, \) und \( P_2 \). Das Kreuzprodukt \( (P_1 - P_0) \times (P_2 - 2P_1 + P_0) \) berechnet sich in der Ebene durch Determinantenbildung der Differenzvektoren, und \( |P_1 - P_0| \) gibt die Länge des Vektors \( P_1 - P_0 \) an, also den Betrag dieser Differenz.
Diese Berechnung liefert die Krümmung der kubischen Bézierkurve am Anfangspunkt \( t = 0 \), auf Basis der Positionen der Kontrollpunkte.
