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Bild Mathematik

bisher habe ich folgendes gemacht:

g(x)= 3√(x5 +2)

y= 3√(x5 +2)          |()3

y3= x5 +2              |-2

y3-2= x5                   |5√   x und y vertauschen

y= 5√(x3-2)

g-1(x)= 5√(x3-2)      , stets <0 -> monoton steigend.

von

1 Antwort

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g ( x ) = 3√ (x5 +2)

g ( x ) = ( x^5 + 2 )^{1/3}
g ´( x ) = 1/3* ( x^5 + 2)^{1/3-3/3} * ( 5 * x^4 )
g ´( x ) = 1/3* ( x^5 + 2)^{-2/3} * ( 5 * x^4 )
g ´( x ) = 1/3 * 5 * x^4 * 1 / 3√ ( x^5 + 2 )^2

x^4 ist stets positiv oder 0
( x^5 + 2)^2 ist stets positiv oder 0
√ daraus auch

Ausnahmen
x = 0 => x^4 = 0  => g ´( 0 ) = 0
Trotzdem wäre die Funktion in diesem Punkt immer noch
streng monoton steigend.
siehe
https://www.mathelounge.de/239256/monotonie-einer-kubischen-funktion-zeigen
( meinen dortigen Kommentar )

x^5 + 2 = 0 => x^5 = -2  => x = -1.1487
würde eine Division durch 0 ergeben.
Die Steigung ist in diesem Punkt nicht definiert.
lim x −> -1.1487(+) = +∞

Ich hoffe ich konnte dir schon einmal weiterhelfen

~plot~  ( x^5 + 2 )^{0.3333333} ~plot~
von 111 k 🚀

Vielen Dank schon einmal.

Wie ist das denn dann für f(x)? Das habe ich überhaupt nicht hin bekommen.

Liebe Grüße

f ( x ) = 1 / ( 1 - x )
f ( x ) = ( 1 - x ) ^{-1}

Nach der Potenz und Kettenregel
f ´( x ) = (-1) * ( 1 -x )^{-1-1} * ( -1)
f ´( x ) = ( 1 -x )^{-2}
oder
f ´( x ) = 1 / ( 1 - x)^2

Der Zähler ist stets positiv oder 0
1 - x = 0
x = 1
Bei x = 1 ist eine Polstelle. Deshalb ist die Ableitung und die
Funktion an dieser Stelle nicht definiert.

~plot~ 1 / ( 1 - x ) ~plot~

Die Funktion ist im Bereich ] -∞ ; 1 [  und
im Bereich ] 1 ; ∞ [ streng monoton steigend.

Der Zähler ist stets positiv oder 0

Erwähnenswert, wenn der Zähler konstant gleich 1 ist.

Dann schreib direkt. Anstelle

Der Zähler ist stets positiv oder 0

muß es heißen

Der Nenner ist stets positiv oder 0

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