0 Daumen
1,2k Aufrufe

Ich soll bei dieser Funktion zeigen, dass sie streng monoton steigend ist:

\( g:[2, \infty) \rightarrow R: x \rightarrow x^{3}-3 x^{2}-1 \)


Ansatz/Problem:

Streng monoton bedeutet ja, dass die Ableitung nie negativ wird (und auch nicht Null) , also soll ja gelten: f'(x) > 0

Nun folgendes Problem: f `(2) = 0 , also ist die Funktion eben nicht streng monoton steigend in diesem Intervall?

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Streng monoton bedeutet ja, dass
die Ableitung nie negativ wird  ( richtig )
(und auch nicht Null) ,  ( falsch )

Die Funktion kann durchaus eine Stelle mit waagerechter
Tangente haben.

~plot~ x^3 ~plot~

Die Funktion hat einen Sattelpunkt bei x = 0
Steigung : 3 * x^2 für x = 0 ist 0.

streng monoton steigend bedeutet aber

Funktionswert des linken Grenzwerts < Funktionswert < Funktionswert des rechten Grenzwerts

Dies ist für x = 0 gegeben.

Avatar von 122 k 🚀

Funktionswert des linken Grenzwerts < Funktionswert < Funktionswert des rechten Grenzwerts

Was meinst du damit? Ist etwas missverständlich.

Ich weiß jetzt leider nicht was für dich mißverständlich ist

0.999999 < 1 < 1.0000001

Das verwirrt mich ehrlich gesagt noch mehr. Es gilt doch:

$$ \lim_{x \uparrow 0} x^3 = \lim_{x \downarrow 0} x^3 = 0 $$

Meinst du das oder etwas anderes??

Ich habe nicht vom Beispiel f ( x ) = x^3 geredet sondern allgemein
über die Tatsache

f ( x - d ) < f ( x ) < f ( x + d )

um zu zeigen, dass obwohl eine Ableitung an einer Stelle  0 ist
( waagerechte Tangente )  eine Funktion trotzdem streng monoton
wachsend sein kann.

0 Daumen
An isolierten Stellen darf die Ableitung auch Null sein, ohne dass dies die strenge Monotonie infrage stellt!
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community