Monotonie einer kubischen Funktion zeigen

Question

Ich soll bei dieser Funktion zeigen, dass sie streng monoton steigend ist:

\( g:[2, \infty) \rightarrow R: x \rightarrow x^{3}-3 x^{2}-1 \)

Ansatz/Problem:

Streng monoton bedeutet ja, dass die Ableitung nie negativ wird (und auch nicht Null) , also soll ja gelten: f'(x) > 0

Nun folgendes Problem: f `(2) = 0 , also ist die Funktion eben nicht streng monoton steigend in diesem Intervall?

Answer 1

Streng monoton bedeutet ja, dass
die Ableitung nie negativ wird  ( richtig )
(und auch nicht Null) ,  ( falsch )

Die Funktion kann durchaus eine Stelle mit waagerechter
Tangente haben.

~plot~ x^3 ~plot~

Die Funktion hat einen Sattelpunkt bei x = 0
Steigung : 3 * x^2 für x = 0 ist 0.

streng monoton steigend bedeutet aber

Funktionswert des linken Grenzwerts < Funktionswert < Funktionswert des rechten Grenzwerts

Dies ist für x = 0 gegeben.

Comments

Funktionswert des linken Grenzwerts < Funktionswert < Funktionswert des rechten Grenzwerts

Was meinst du damit? Ist etwas missverständlich.

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Ich weiß jetzt leider nicht was für dich mißverständlich ist

0.999999 < 1 < 1.0000001

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Das verwirrt mich ehrlich gesagt noch mehr. Es gilt doch:

$$ \lim_{x \uparrow 0} x^3 = \lim_{x \downarrow 0} x^3 = 0 $$

Meinst du das oder etwas anderes??

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Ich habe nicht vom Beispiel f ( x ) = x^3 geredet sondern allgemein
über die Tatsache

f ( x - d ) < f ( x ) < f ( x + d )

um zu zeigen, dass obwohl eine Ableitung an einer Stelle  0 ist
( waagerechte Tangente )  eine Funktion trotzdem streng monoton
wachsend sein kann.

Answer 2

An isolierten Stellen darf die Ableitung auch Null sein, ohne dass dies die strenge Monotonie infrage stellt!