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Ungleichung: \(e\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq n\cdot e\left(\frac{n}{e}\right)^n\)
Um diese Ungleichung zu beweisen, können wir die Stirling'sche Formel nutzen. Die Stirling'sche Formel ist eine Näherungsformel für Fakultäten und lautet in ihrer einfachsten Form:
\(
n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\)
Diese Näherung gibt an, wie \(n!\) für große \(n\) approximiert werden kann. Die genauere Form der Stirling'schen Formel lautet:
\(
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\frac{\theta_n}{12n}}
\)
wobei \(0 < \theta_n < 1\). Für den Beweis benötigen wir jedoch nur die einfachere Form:
\(
n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\)
Diese Formel zeigt, dass \(n! \) ungefähr gleich \(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\) ist.
Bewerten wir nun die ursprüngliche Ungleichung:
Wir möchten zeigen, dass:
1. \(e\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n!\)
2. \(n! \leq n\cdot e\left(\frac{n}{e}\right)^n\)
Für den ersten Teil:
Betrachten wir die Stirling'sche Näherung:
\(
n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\)
Da \(\sqrt{2\pi n}\) für \(n \geq 1\) größer als \(e\) ist, erhalten wir:
\(
e\left(\frac{n}{e}\right)^n < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\)
Daher:
\(
e\left(\frac{n}{e}\right)^n < n!
\)
Für den zweiten Teil:
Wir müssen zeigen, dass:
\(
n! \leq n\cdot e\left(\frac{n}{e}\right)^n
\)
Betrachten wir erneut die Stirling-Formel. Das \(n!\) ist annähernd gleich \(\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n\), was bedeutet, dass für große \(n\), \(n!\) tendenziell kleiner als \(n\cdot e\left(\frac{n}{e}\right)^n\) ist, da der zusätzliche Faktor von \(n\) in der oberen Schranke den Ausdruck größer macht als die Stirlingsche Näherung, insbesondere weil der Unterschied zwischen beiden Ausdrücken für große \(n\) die quadratische Wurzel von \(n\) und der Faktor \(e\) überschreitet, der in der oberen Schranke hinzugefügt wird.
Um zu veranschaulichen, wie \(n!\) tatsächlich zwischen diesen beiden Schranken liegt, hilft ein detaillierterer mathematischer Beweis unter Einsatz von fortgeschritteneren Methoden der Analysis oder Kombinatorik, welche die Eigenschaften der Gammafunktion und detaillierte Abschätzungen invovlieren könnten. Für die meisten praktischen Zwecke reichen die argumentative Erklärung und die Stirling'sche Näherung aus, um ein intuitives Verständnis für die Ungleichung \(e\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq n\cdot e\left(\frac{n}{e}\right)^n\) zu entwickeln.
