Ermitteln der Grenzwerte durch de L'Hospital

Question

Lösen Sie mit Hilfe von de L'Hospital:

lim x→1+ \( \frac{\sqrt{x-1}}{\ln (x)} \) = \( \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}}{\frac{1}{x}} \) = \( \frac{x}{2 \sqrt{x-1}} \)

Ansatz/Problem:

Wenn ich jetzt aber 1 in \( \frac{x}{2 \sqrt{x-1}} \) einsetze, steht im Nenner doch 0. Aber weiter ableiten kann ich ja auch nicht, weil im Zähler ja 1 steht.

Answer 1

Doch du kannst weiter ableiten. Zu Beginn, wenn du "0" eingesetzt hättest, hättest du doch auch den Bruch 0/0 bekommen. Ist jetzt nach einmal ableiten der gleiche Fall, also wie gesagt, ruhig nochmal anwenden.

Comments

Laut der Regel darf ich doch nur ableiten, wenn im Zähler und im Nenner 0 oder "unendlich" steht, hier steht doch 1.

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Ahh ich hab da was durcheinander gebracht. Ja, das stimmt beides was du sagst. Allerdings bist du doch mit deinem ersten Ausdruck nach dem ersten mal Ableiten bereits fertig. Du bekommst wenn du 1 einsetzt sowas wie 1/0 was ja gleich Unendlich ist. Jetzt musst du dir nur noch Gedanken machen, ob das Vorzeichen von Unendlich positiv oder negativ ist.

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@yukawah
Wurzeln sind nur definiert wenn der Radikand positiv ist.
Andernfalls gibt es keine Lösung.

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L'Hospital klingt für mich immer nach Hochschule und da man dort auch mit komplexen Zahlen arbeitet, gäbe es auch $$\lim\limits_{x \rightarrow 1-}{\frac{x}{2\sqrt{x-1}}} = -i \infty \ .$$

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l´Hospital gehört üblicherweise zum Mathe-Abitur.

Answer 2

Du hast alles richtig gemacht.
In den letzten Term 1(+) eingesetzt würde ergeben. Ausführlich

1(+) / ( 2 * √ [ ( 1(+) - 1 ]
1(+) / ( 2 * √ 0(+)
1(+) / ( 2 * 0(+)  ) = + ∞

~plot~ sqrt (x-1) / ln ( x) ~plot~

Comments

Ist es also so, dass + ∞ das Ergebnis ist, wenn ein positives Ergebnis rauskommt?

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Ist es also so, dass + ∞ das Ergebnis ist,
wenn ein positives Ergebnis rauskommt ?

Wenn ist falsch.

Für lim x −> 1 (+) kommt immer ein positives Ergebnis heraus.

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Und woher weiß ich dann, dass + ∞ das Ergebnis ist?

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Afrob, das sollte man irgendwann einmal wissen

1 / 1 = 1
1 / 0.1 = 10
1 / 0.01 = 100
1 / 0.001 = 1000
1 / 0.0000001 = 10000000

Rechtsseitiger Grenzwert
1 / 0 (+ ) = +∞
und
linksseitiger Grenzwert
1 / 0 ( - ) = - ∞

Anmerkung : in der Aufgabenstellung kommt der Ausdruck
√ ( x -1 ) vor. Die Wurzel kann nur aus einem positivem Wert
oder 0 gezogen werden. Also
x - 1  ≥ 0
x ≥ 1

Für x < 1 oder lim x −> 1(- )  oder linksseitiger Grenzwert
ist die Funktion nicht definiert.
Siehe auch den Graphen

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Danke für die Antwort.

Noch eine Frage: Was setzt man zu Beginn ein, wenn n gegen unendlich geht? Einfach nur einen hohen positiven Wert?

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n kommt in deiner Funktion nicht vor.

Meinst du x gegen unendlich ?

Dann hätten wir im Zähler gegen unendlich und
im Nenner gegen unendlich.

Ein Fall dann für l´Hospital ?

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Ja klar, x mein ich natürlich!

Das würde ich sagen, ja. Dann würde man ableiten, bis Zähler und Nenner nicht mehr gegen unendlich gehen.

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Was hast du herausbekommen ?

Ich habe : gegen unendlich.

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Nach nochmalige Anwendung von l´Hospital auf den Term

x / [ 2 * √ ( x- 1 ) ]

kommt √ ( x- 1 ) heraus.

lim x −> ∞ [ √ ( x- 1 ) ] = ∞

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Ja, das habe ich auch herausbekommen.